C.R., T. XXV, p. 93 (19 juillet
On sait que la résolution d’une équation algébrique peut toujours être réduite à la résolution d’une autre équation que Lagrange appelle la résolvante. On sait encore que, si l'équation algébrique donnée est une équation binôme, il suffira de multiplier entre elles les racines de la résolvante, pour voir apparaître certains polynômes radicaux. Plusieurs géomètres, entre autres MM. Gauss et Jacobi, ont déjà signalé des propriétés remarquables de ces polynômes dont je me suis occupé moi-même dans divers Mémoires (voir en particulier le Bulletin des Sciences de M. de Férussac, année 1829) (*).
Mais d’autres résultats, dignes de remarque, se présentent immédiatement, quand on applique la théorie des indices modulaires aux polynômes dont il s’agit. C’est ce que l’on verra dans le nouveau
(1) Œuvres de Cauchy, S. IH, T. IL.
Mémoire dont je me bornerai à donner ici une idée en quelques mots.
Soient p un nombre premier impair, et z un diviseur entier de
p —1, en sorte qu’on ait P—I=nTS.
Soient encore 0 une racine primitive de l'équation binôme (1) F2 Era @ tune racine primitive de l’équivalence (2) xP1= 1] di P) o une racine primitive de l'équation (3) APS,
et
FRE une racine primitive de l’équivalence
(4) | = (mod.p).
Enfin, soient k, 4, { des nombres entiers quelconques, et posons
(2) Wie () TE pli CL + ee” 9 +... + ptp-31l a+.
Les diverses valeurs de @, correspondantes aux diverses valeurs de z et de z seront autant de racines de la résolvante de l'équation (x). On aura, d’ailleurs : 1° si À est divisible par »,
(6) Ox— Oo —1;
2° si # — À est divisible par z,
3° si # + 2 est divisible par z,
OEuvres de C.— S.1,t. X.
De plus, si l’on pose
(9) Ri,x— -)
on aura : 1° en supposant ou k, ou #, ou L et # divisibles par », to): Ris Brie RASE Mes Ti
2° en supposant », # non divisibles par », et À + # divisible par », (13) Ri,k= Rh,-k=—(—1)5#p;
3° en supposant k, # et k + # non divisibles par z,
(12) Rr,k Rh,-x=p.
Ajoutons que l’on aura, en supposant les nombres 2, #, ! non divisibles par 2, et la somme 2 + # + l divisible par »,
(13) D Ra (PER (OP Ra puis, en supposant la somme # + 2h divisible par », (14) Ri,k=(— 0 R,n.
En vertu de la formule (ro) ou (11), R,,4 offrira une valeur entière
toutes les fois que À + # sera divisible par #. Mais, si cette condition n’est pas remplie, alors R,, sera un polynôme radical, et l'on aura
(19) Risk = do + A0 + A0+...+an ip",
A6 Aus dos +. dy, étant des nombres entiers qui vérifieront la formule
(16) AE MER +. Fa, 1 —p— 2.
D'ailleurs ces nombres entiers pourront être facilement déterminés pour une valeur donnée de 4, ou, ee qui revient au même, pour une
valeur donnée de amet AR
à l'aide d’équivalences relatives au module 7 (votr l’article inséré
en 1829 dans le Bulletin déjà cité).
EE
Concevons maintenant que l’on pose
on aura : 1° en supposant À —oeth—1,
(18) So=—1, Si R > en supposant 4 divisible par 2,
Ce Ar Fi Set,
et, en Hitioutior,
(20) ; Sy =— RE.
On aura encore
+ S'irr (21) ; : Rir= 2 ? ï Sn Sx ou, ce qui revient au même, (22) Snrx = RnkS Sr;
puis on en conelura, en remplaçant # par x — À, ou par 74 — , (23) Sa——(—1)7#pSrS nn
et, plus généralement,
(24) Sur — (—1)/#pS x Sarre
Enfin, on tirera des formules (18) et (22)
(25) Rhin. H
A l’aide de cette dernière formule, jointe à l'équation (21), on déterminera aisément, pour des valeurs quelconques de 2 et de #, les valeurs de S, et de 2,3, quand on connaitra celles des polynômes radicaux
(26) ch ns Dis;
et même, eu égard à l'équation (24), quand on connaîtra les valeurs
de R,,, correspondantes à des valeurs de À positives et inférieures s AN A
Il est bon d'observer que, si dans la formule (22), on remplace # par z2#, on en tirera
= AR Er k (27). È Sunrn = Sur Sn = 07 Sp.
\ . . —— I Dans le cas où 2 est un nombre impair, & — ne est un nombre
pair; et par suite les formules (8) et (24) donnent (28) 0, O, — D,
(29) She — PS} SSL ne
Alors aussi on tire des formules (13) et (14): 1° en supposant , £&, non divisibles par z, et la somme À + # + / divisible par »,
(30) À à PE Laver PNR LT 2° en supposant la somme # + 2h divisible par », (31) Re FE he
Alors, enfin, on pourra déterminer, pour des valeurs quelconques de h et k, les valeurs de S, et R;,x, quand on connaïtra les termes de la
suite
(32) Hit HE es: Mao jt même, eu égard à la formule
(33) AR nb
les termes de la suite
(34) Bi, Ro LR E Q n—1°
En effet, pour réaliser cette détermination, il suflira de recourir aux
formules que nous allons indiquer.
EXTRAIT N° 373. 349 Concevons que, pour abréger, on écrive À, au lieu de R,,,. On tirera de la formule (22), en y posant # — k, (33) Son = RrSis puis on en conclura, en désignant par : un nombre entier quelconque, (36) A PT Eu Rs Rip... RITST.
Or, de cette dernière équation, jointe aux formules (23), (29), on tirera : 1° en supposant 2°— 1 divisible par »,
(37) Shine Rés Rte: ji RÉTS-T
2° en supposant 2°+ 1 divisible par n,
(38) San 5 0 Rare Riu A RETISTET.
Les formules (36), (37), (38) suffisent à la détermination de S;, quand on a calculé À, pour toute valeur entière et positive de k inférieure à cn
Si, pour fixer les idées, on suppose que t soit racine de l’équiva-
lence a l= 1] (mod. x),
alors, en posant
Rx, 1 ——;) ion on tirera de la formule (38) (39) O"}\ — PRa- Ris... RIT; puis, en laissant à : une valeur quelconque, et posant k — 1, on tirera de la formule (36) (40) à Su Ra-Ri:.. R2T.
Enfin, de cette dernière, jointe à l’équation (24) et à la formule (39), on déduira la valeur de $, correspondante à une valeur quelconque
de A.
En s'appuyant sur les diverses formules que nous venons d'établir, on peut aisément calculer les indices modulaires des polynômes radicaux représentés par
Ry,x etpar O7.
Ainsi, par exemple, on établira Les propositions suivantes :
Taéorëme [. -— Pour obtenir l'indice modulaire maximum du polynôme R;,, correspondant à la racine primitive r° de l'équivalence (4), il suffit de chercher les plus petits nombres positifs qui soient équivalents, suivant le module n, aux produits hk, hl. Si la somme de ces deux nombres est inférieure à n, l'indice cherché sera le nombre p. I se
réduira simplement à l'unité dans le cas contraire.
Exemple. — L'indice modulaire de R,, correspondant à la racine
. , s% : s . . SES s 7 primitive r'estp, ou l'unité, suivant que / est inférieur ou non à a
THéoORÈME IT. — L'indice modulaire maximum de @' correspondant à la racine primitive r° de la formule (4) est le plus petit des nombres équi-
valents, suivant le module n, au produit "AL.
Exemple. — L'indice modulaire maximum de @° correspondant à la racine primitive r° de la formule (4) est » — L.
Ainsi que nous l’expliquerons dans un autre article, le théorème II s'accorde avec l’un de ceux qu'a obtenus M. Kummer.
En vertu des formules (13) et (14), ou (30) et (31), le nombre total des valeurs de R;,%, qui sont distinctes (abstraction faite des signes), et représentées par des polynômes radicaux, se réduit,
- s :, +3 ONE NNT, D .
quand x est impair, à, ou bien à -;—; et, quand » est pair, ' RP À ee ras à > ou bien à a suivant que zx est divisible ou non divisible par 3.
Ainsi, par exemple, pour » — 5, les valeurs distinctes de 2,4, représentées par des polynômes radicaux, seront au nombre de
quatre, Savoir :
ou, plus simplement, ; R;,, Re, R;, R.
Pour À» — 7, les valeurs distinctes de R,;,, représentées par des polynômes radicaux, seront au nombre de huit, savoir :
R, R;, R;, Rs 3, BR
et Pas Gi Ris TA Re R,3— R;,3.
Dans un prochain article, je montrerai le parti qu'on peut tirer de cette remarque pour décomposer R,4, et, par suite, le nombre p en facteurs radicaux. -
ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Meémotre sur l'application de la nouvelle théorie
des imaginaires aux diverses branches des Sciences mathématiques.
