C. R., T. XX, p. 552 (3 mars

La théorie nouvelle et générale que je vais établir repose, comme je l'ai déjà dit dans la dernière séance, sur la considération de la série simple qu'on obtient quand on développe une fonction d'une seule variable suivant les puissances entières de l'argument de cette variable,

OEuvres de C. ~ S. I, t. IX. II

Après avoir montré dans le premier paragraphe qu'on peut faire servir ce développement à la détermination du terme constant ou même d'un terme quelconque de la série simple qui représente la même fonction développée suivant les puissances entières du module, j'examine les conséquences importantes qui se déduisent de cette vérité pour l'approximation des fonctions de très grands nombres, et je prouve, en particulier, que la détermination approximative d'une fonction qui renferme un facteur élevé à une très haute puissance peut être généralement ramenée à la détermination du module principal de ce facteur. Il y a plus : je fais voir comment on peut développer de telles fonctions en séries rapidement convergentes, qui permettent de les calculer avec une exactitude aussi grande que l'on voudra. Parmi les résultats auxquels je suis ainsi parvenu, il en est un surtout qui paraît digne de remarque, et que je vais immédiatement énoncer.

Soit F(.r) une fonction de x, qui renferme un facteur élevé à une très haute puissance, en sorte qu'on ait

F(^) = .X"f(jc),

n désignant un très grand nombre, et,x étant lui-même fonction de x. Supposons d'ailleurs que la fonction F(a7) reste continue avec sa dérivée du premier ordre, pour tout module de x qui ne dépasse pas une certaine limite supérieure a, ni une certaine limite inférieure a,. Supposons encore qu'une certaine valeur k ([q x oïïvq un module x compris entre ces limites, et qu'à cette valeur corresponde un module principal de la fonction .x. Enfin, nommons a la valeur particulière du produit

2 Xi

correspondante à a: = /;, et A le terme indépendant de la variable x dans le développement de F(^) suivant les puissances entières de cette variable. Si les logarithmes népériens des rapports

surpassent tous deux le nombre

Il = 3,14159265. . .,

on aura

„„ FLA-e^"") J +F[Ae ("") J r"^ ^. ,

nD„ — L__ J L __ — J i g-anp* çlp

27^ Jn

la lettre caractéristique D„ indiquant une différentiation relative à n, et les facteurs symboliques devant être remplacés par leurs développements suivant les puissances entières de D„. Ajoutons qu'à ces mêmes développements correspondra un développement très convergent de A, qui renfermera la seule transcendante

\lan t/o

et qui, pour de très grandes valeurs de n, se réduira sensiblement à son premier terme, c'est-à-dire à la moitié du rapport

sjmxa

Ce n'est pas tout ; la moitié de ce rapport représentera encore, à très peu près, la valeur de A correspondante à de grandes valeurs de n,

dans le cas même où les logarithmes népériens des quantités -, - ne

seront pas l'un et l'autre supérieurs au nombre iz.

Dans le second et le troisième paragraphes, j'applique la nouvelle théorie à la solution de divers problèmes et à l'établissement des formules générales à l'aide desquelles on détermine facilement les perturbations d'un ordre élevé dans les mouvements des corps célestes.

Analyse mathématique. — Mémoire sur les approximations des fonctions

de très grands nombres.