DIS

Il nous reste à faire voir que, pour décider si les formules (9), (11) ou (12) sont ou ne sont pas vérifiées, il suffît de recourir à la seule considération de la fonction f(£c) et de ses dérivées du premier et du second ordre, prises par rapport à la variable œ.

Si l'on nomme P l'argument de {(ce), en sorte qu'on ait

les valeurs de x^ f (a;), exprimées en fonction de s, p, S, P, seront

(i4) a;z=e'+P^', f{x) = e^+PyF'K

Donc, si l'on considère x, S, P comme des fonctions de s, p, et si l'on pose, pour abréger,

f'(a.) = D,f(a.), f"(^)=Dlf(x), on trouvera, non seulement

Dpa;=: — ^, J)pJ)sa: = x\J — I , YS\x:zzx, mais encore (i5) D^(5 + P v^=rï) = sf=r^ \i,{s + p \/=:7),

(16) D^(5 + PsT^y) = v/^=^ DpD,(5 + p \f^i) = - D| (5 + p \/^=^i), les valeurs de D,(S + P \f^^i), DJ {S -h P y^^) étant

et, par suite,

S D^5 = -D,P, T)pP = T)sS,

\dIS = -DpBsP = -J)JS, DlP = J)pDsS = -J)sP.

Or, comme on tire des équations (17) et (18)

^=J)^S-BpS^.

les formules (i i) pourront être évidemment réduites à la seule formule

. . xi'ix)

et les conditions (12) à la seule condition (20) D^5<o,

puisque, en supposant la condition (20) vérifiée, on aura

i....-i^'=-D,4..(wy]>„.

On doit observer, en outre : 1° que dans l'équation (19) on peut laisser de côté la racine

à laquelle correspondrait une valeur nulle de DJ5; 2° qu'on pourra omettre pareillement le diviseur f(^), si, comme nous l'avons supposé, on se borne à faire varier le module r entre des limites telles que la fonction ï{x) ne cesse pas d'être continue. On pourra donc alors réduire l'équation (19) à celle-ci :

Ajoutons que, en vertu des formules (i5), (16) et (17), les conditions (10) se réduiront évidemment à ce que la valeur du produit

soit réelle, mais négative, et la condition (20) à ce que la partie réelle du produit

xi'ix)

(23) xJ)^

reste positive. Remarquons enfin que, dans le cas où l'équation (21) se vérifie, l'expression (23) peut être réduite au produit

Cela posé, on pourra évidemment énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Soient

X = r eP'J-^

une variable imaginaire, dont r désigne le module, et ï{x) une fonction de la variable x, qui reste continue avec sa dérivée du premier ordre,

dans le voisinage d'une valeur particulière x attribuée au module r. Soient encore R le module de la fonction f(^), et SK. le maximum maximorum de R, considérée comme /onction de la seule variable p. Enfin supposons que, le module r venant à croître à partir de la valeur x^ sans que la fonction ï{oc) cesse d'être continue, le module .R commence par décroître, pour croître ensuite. Non seulement la valeur de /?, à laquelle correspondra le module ^, donnera pour le produit

une valeur réelle qui, d'abord négative, finira par changer de signe, en passant par zéro, mais, de plus, ce changement de signe aura précisément lieu à l'instant où le module ^, devenant un minimum, sera réduit à ce que nous appelons un module principal de la fonction f(a?); et alors la valeur de x, en vérifiant l'équation

rendra généralement positive la partie réelle du produit

Ajoutons que, réciproquement, si ces deux conditions sont vérifiées, pour une valeur donnée de Xy la valeur correspondante de R sera un module principal deî(x).

Corollaire I. — Nous avons ici considéré le cas général où la partie réelle de f"(^) "6 s'évanouit pas pour une valeur de x qui vérifie l'équation

Dans le cas contraire, pour décider si un module principal de la fonction f(a;) correspond à la valeur trouvée de x, on ne pourrait plus se borner à la seule considération de la fonction f (a?) et de ses dérivées du premier et du second ordre. Il faudrait, comme dans la théorie ordinaire des maxima et minima, faire encore entrer en ligne

de compte les dérivées d'un ordre supérieur au second, ou du moins la première de celles qui ne se réduiraient pas à zéro.

Corollaire II. — Pour montrer une application très simple du théorème ci-dessus énoncé, posons

n étant un nombre quelconque. Dans ce cas, l'équation (19) ou (21), réduite à la formule

offrira une seule racine finie, savoir

Comme on aura d'ailleurs

on conclura du théorème ci-dessus énoncé que la fonction

admet un seul module principal, qui se confond avec la valeur minimum calculée pour le cas où la variable x reste réelle. Ce module principal, correspondant à la valeur n de x, se trouve représenté par le produit

Analyse mathématique. — Mémoire sur les approximations des fonctions

de très grands nombres.