C. R., T. XX, p. 691 (17 mars
Nous allons exposer ici, avec quelques développements, la théorie nouvelle qui fait l'objet de ce Mémoire, et qui repose sur, les bases déjà indiquées dans de précédents articles (voir, en particulier, le Compte rendu de la séance du 3 mars i845).
Analyse.
§ I. — Considérations générales. ■ >.
Nommons x une variable dont x soit le module et p l'argument, en sorte qu'on ait
=^xeP'J-\
Soit encore î(x) une fonction de x qui reste continue, avec sa dérivée du premier ordre, pour toute valeur du module x qui ne dépasse pas une certaine limite supérieure a, ni une certaine limite inférieure a,. Enfin, posons
la lettre caractéristique 1 indiquant un logarithme népérien. Si le
nombre
qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre, est inférieur aux deux nombres 6, G,, alors, d'après ce qui a été dit dans la dernière séance, la fonction
dans laquelle la valeur numérique de p peut être supposée inférieure
à Tz, sera toujours développablc en une série simple et convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'argument/?; et, en désignant par
le terme général de cette série, on aura
(I) f{cc)=^lh,,p'n,
la somme qu'indique le signe L s'étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de m. Si, au contraire, le nombre tz surpasse les deux limites G, G,, ou seulement l'une d'elles, alors, en désignant par CT la plus petite de ces limites, il faudra supposer la valeur numérique de p inférieure à ct, pourvu que la fonction f(x) reste développablc en série convergente suivant les puissances ascendantes de p. Donc alors, en désignant, comme ci-dessus, par hj^p"^ le terme général du développement, on devra restreindre la formule (i) au cas où, abstraction faite du signe, l'argument/? restera inférieur à zs.
Faisons voir maintenant que, si l'on suppose connu le développement de la fonction f(ao) en une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'argument p, on pourra en déduire, avec facilité, le terme constant ou même un terme quelconque du développement de la même fonction en une série simple ordonnée suivant les puissances entières du module x, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances entières de la variable ce.
Nommons k^ le coefficient de x" dans le développement de f(x) effectué suivant les puissances entières de x, pour un module x de x renfermé entre les limites a et a,, de sorte qu'on ait
ou, ce qui revient au même,
(3) fix) = l/,,x»,
la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs en-
tières, positives, nulle et négatives de n. On tirera de l'équation (2)
(4) K^^^f î{x)dp.
Il y a plus : en remplaçant, sous le signe y, x par xe^^, on tirera de la formule (4)
(5) ■ ^o=^f i(xeP^/~Odp OU, ce qui revient au même,
Cela posé, si la limite cj, qui représente le plus petit des deux nombres ô, 9,, vérifie la condition nï>>7r, on tirera des formules (i) et (4)» ou, ce qui revient au même, des formules (i) et (6),
la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de m. Si, au contraire, on a cy<<7r, on pourra remplacer l'équation (4) par la suivante
(8) ^0=—/ H^)dp'V-\ -^ '—-^ '-^dp,
et l'on tirera de cette dernière, combinée avec la formule (1),
(û) kQ= -^h^,n !- - / -^ ' ^ dp.
Les séries dont les sommes entrent dans les formules (7) et (9) seront certainement convergentes. Mais on peut leur substituer d'autres séries plus rapidement convergentes, en opérant comme je vais l'indiquer.
Supposons que, dans la formule (4) ou (8), on décompose, sous le
signe r, f(a?) considérée comme fonction dep, en deux facteurs cp(/?) et x(p)* ^^ sorte qu'on ait
(lo) H^) = 9ip)xip)'
Supposons encore que le facteur ?(/?), tout comme la fonction
reste, avec sa dérivée, fonction continue de p, pour tout module de p inférieur à cj. Alors, pour un tel module, on pourra développer ce facteur 9(/?) en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de p; et, en désignant par
le coefficient de x"" dans le développement obtenu, on aura
puis, en combinant la formule (lo) avec la formule (ii), on trouvera
(12) f{a;) = lc,„p"'x{p).
Or on tirera évidemment de cette dernière équation, jointe à la formule (4) ou (8), i'' en supposant cy > u,
('3) ko=—ic,n p'-xip)dp;
2^ en supposant ci < tt.
dp.
On doit remarquer particulièrement le cas où, dans les formules (i3),
(i4), on suppose
P désignant une fonction entière dep. Alors, en effet, les deux exponentielles
restent, avec leurs dérivées, fonctions continues de l'argument P, et
par suite la fonction <^{p), déterminée par l'équation (lo), de laquelle on tire
(i5) 9(;p) = e-Pf(a^),
remplit certainement la condition de rester continue avec sa dérivée en même temps que la fonction f(a;). Il y a plus : si, pour fixer les idées, on pose
a désignant une constante réelle ou imaginaire, alors, comme on aura
\ r^' t—, , sinaTT — / e'^P v-i dp =
et, par suite,
^ — Tt
on tirera de la formule (i3)
ou, ce qui revient au même,
, , , I / Da \ sinaTT
71 w ij a
la valeur de <p(p) étant, en vertu de la formule (10),
<p (/))=: e-'^^ v'^ f( X e^ v^ )- Si, au contraire, on pose
alors, comme on aura
et
Ç p^"^e-''P'dp = {—ï)'"'D^ f e-'^P'dp
on tirera de la formule (i3)
(18) ko=.~l{-iy-c,^-D^J e-^p'dp OU, ce qui revient au même,
(19) ko= — ^^ ^ ^ -I e-'^P^dp,
la valeur de 9(/)) étant
(ao) cp(/?)=re«^'f(xePv^).
Les formules (16), (17), (18), (19), toutes déduites de l'équation (i3), se rapportent au cas où l'on a cT>Tr. Si l'on avait, au contraire, cj<7r, ces formules devraient être remplacées par celles que l'on déduirait de l'équation (i4). Alors, par exemple, à la place de la formule (19), on obtiendrait la suivante :
Jusqu'ici, en supposant connu le développement de la fonction f(^) suivant les puissances ascendantes de l'argument/y, nous nous sommes borné à déduire de ce développement la valeur de k^,, c'est-à-dire le terme constant de la série qui représente le développement de la même fonction suivant les puissances entières de la variable œ. Si l'on voulait obtenir, non plus la valeur de /c^y mais celle de la constante k^ qui sert de coefficient à ce" dans le dernier développement, il suffirait évidemment de remplacer, dans les diverses formules, la fonction ^(x) par le rapport
attendu que, en vertu de l'équation (2), 4 sera précisément le terme constant du développement de ce rapport on série ordonnée suivant les puissances entières de ce. On arrivera encore aux mêmes conclu-
OEuvres de C. — S. I, t. IX. I 2
sions, si l'on observe que de la formule (2), divisée par ^S on tire
(22) ^„= — I x-"^ iix)dp.
Une fonction donnée d'un très grand nombre n peut être considérée comme représentant le coefficient ^" dans une série ordonnée suivant les puissances entières de x. Telle est, en particulier, la fonction k^, déterminée par la formule (22). Rien n'empêche d'ailleurs de supposer que, dans les calculs précédents, on remplace la fonction ï{x) par une autre qui dépende elle-même du nombre n, et renferme, par exemple, un facteur élevé à la n}^"^^ puissance.
Supposons, pour fixer les idées, que, dans le second membre de la formule (22), on remplace ^{oc) par le produit
"X désignant une nouvelle fonction de x, et nommons A„ ce que devient alors kn, ou, ce qui revient au même, nommons A„ ce que devient la valeur de ^0 déterminée par la formule (4), lorsqu'on remplace, dans le second membre de cette équation, la fonction ï{x) par le produit
On aura
(23) A,= -^f\'^f{x)dp=^jyix)dp.
Supposons d'ailleurs que x, comme f(^), reste, avec sa dérivée, fonction continue de la variable x, pour tout module de cette variable qui ne dépasse pas la limite supérieure a, ni la limite inférieure a,. Enfin, supposons que l'on prenne, non plus
mais
et, par suite,
(24) 9(/») = e««/''F(^) = e«'»/''F(xePN^).
Alors, à la place des formules (i8), (19), on obtiendra deux autres équations du même genre; et, en se servant de la caractéristique D„ pour indiquer une différentiation relative à n, on trouvera : 1° si l'on
(,5) A, = '- -Li^^ J L i-°i i r .-«».■ dp;
2^ si l'on a cj ^^TT,
(26) { Ti
11 est bon d'observer que, dans les seconds membres des formules (25) et (26), le facteur symbolique
fe)v^-[-(^)H
est toujours réductible, par le développement de la fonction qu'indique la lettre 9, à une fonction entière de la caractéristique D„. On arriverait à la même conclusion, en songeant que les valeurs de A„, fournies par les équations (20) et (26), ne diffèrent pas de celles que donnent les formules
(27) - X^^l r^APy±9{:^Ple-an,^dp,
"^ Jo ^
(28) A„=i r?(/» + ?(-/^),-a.pV^4--^ /->(/>) + <p(-;>)^^,
quand on y substitue, dans l'intégrale prise à partir de l'origine zéro, le développement de 9(/>). Ajoutons que si, dans ces formules, on
remplace o par -^j elles deviendront respectivement
Sjn
(3o) " 7rv/^-/> 2
Les formules (25) et (26) ou (29) et (3o) fournissent le moyen d'obtenir aisément, avec une grande approximation, la valeur approchée de A„. Pour le faire voir, considérons d'abord le cas particulier où l'on a x= I, et où un module principal de la fonction x correspond précisément à la valeur i de la variable x. Alors, si l'on désigne par
cAs , cAs , CAS , ...
les dérivées successives de la fonction ^ différentiée par rapport à x, non seulement l'équation
sera vérifiée quand on posera x = i\ mais, de plus, la valeur correspondante du produit
offrira généralement, pour partie réelle, une quantité positive. Supposons la constante a réduite précisément à la moitié de cette valeur. Comme, en vertu de l'équation
on aura généralement
Y)pX=z œ sj — I ,
et, par suite, pour a? = I,
le développement de x suivant les puissances ascendantes de p se réduira, pour la valeur i de la variable ic, à un produit de la forme
5 désignant la valeur de x> qui correspond sl x = i. Donc le développement du produit
sera de la forme
et la valeur de ^(p), donnée par l'équation
9 (/?) = «««p' F(^) = .X'» e«"/'' f (^), sera de la forme
(32) cp(^) = 3(n^,^3 j__,)«f(ep^).
Donc, si l'on pose de nouveau
(^{p) = Ic,nP"',
c'est-à-dire si l'on désigne par c„, le coefficient de p"", dans la fonction <^(p) développée suivant las puissances ascendantes de/?, on aura
c-5 c- aQi1±I1i>
et pour 772 > I, le coefficient c„„ considéré comme fonction de n, sera d'un degré inférieur ou tout au plus égal à j- Donc, enfin, dans le développement de la somme
le premier terme se réduira simplement à
les deux termes suivants étant de l'ordre de -> deux autres étant de
n l'ordre de — > et ainsi de suite. Il en résulte que, pour de grandes
valeurs de n, les intégrales, prises à partir de l'origine zéro, dans les seconds membres des formules (29), (3o), se développeront en des séries très rapidement convergentes, ainsi que les produits de ces
intégrales par -j^- Comme on aura d'ailleurs sensiblement, pour de grandes valeurs de n,
e-'^p' dp= e-'^p' dp=U-
nous devons conclure qu'en négligeant, vis-à-vis de l'unité, les termes de l'ordre de - ou d'un ordre plus élevé, on tirera de la formule (29)
(34) An— - -j=~-y
^ \mza
et de la formule (3o), jointe à l'équation (24),
(35) A„.= --^i£(i + a), la valeur de a étant
(36) oc = 2 «M - / -^ ^ ... , dp.
\Try J^ 2*(i) ^
J'ajoute qu'alors a sera sensiblement nul, et qu'en conséquence la formule (35) pourra être réduite, sans erreur sensible, à la formule (34). Effectivement, puisqu'à la valeur i do x correspond un module principal de la fonction .x, il est clair que, si l'on nomme Si le module de ^ pour/? = o, et X^ le module de x pour une valeur numérique de p comprise entre les limites cr et tî, X sera un nombre inférieur à l'unité. Soit d'ailleurs [j. la plus grande valeur que puisse
acquérir le rapport *
quand 7> varie, abstraction faite du signe, entre les limites dont il s'agit. Le module de l'intégrale comprise dans le second membre de la formule (36) sera évidemment inférieur à la quantité
et, comme le produit de cette quantité par rî^ sera sensiblement nui pour de très grandes valeurs de n, on pourra en dire autant de la valeur de a que fournira l'équation (36).
Si, en supposant le nombre n très grand, on veut obtenir pour A„, non pas seulement une première valeur approchée de la fonction A«, mais encore, à l'aide de plusieurs approximations successives, des valeurs de plus en plus exactes, on devra remplacer la formule (34) par les formules (^5), (26); et alors on pourra se servir de diverses méthodes pour déterminer approximativement les intégrales renfermées dans ces formules, après avoir transformé les deux intégrales dont zéro est l'origine, à l'aide des deux équations
0 \/an Jq
e-P'dp=-7i^— e-P'dp.
tJ /iïn
Il suit d'ailleurs évidemment de la formule (37) que les dérivées successives de l'intégrale
différentiée par rapport à /^, ne renferment pas d'autre transcendante que cette intégrale même. Ajoutons que, si, dans la formule (25) ou (26), on substitue la valeur de ?(/?), tirée de l'équation (24), on obtiendra la valeur de A„ sous une forme qui se prête facilement aux approximations successives. On trouvera ainsi : i*' en supposant CJ ^ 7i,
(89) A^^e-"""^-!-^^ A-^t\xe j / ^.««p,^
