TC J
2^ en supposant cy>'rr,
, „ F xeV"") J+F xe («") J /-^ „„ . . A„ = e-'^^" —^ ^^î ^= I e-^'^p dp
Jusqu'ici nous avons supposé que la valeur i de la variable se correspondait à un module principal de la fonction ^x. Supposons maintenant que le module de ^ devienne un module principal, non plus pour x = i, mais pour une autre valeur réelle ou imaginaire de ce, représentée par k. Si, dans la fonction
qui reste continue par hypothèse pour tout module de se compris entre la limite supérieure a et la limite inférieure a,, on substitue à la variable X une autre variable y liée à x par l'équation
œ = ky,
on aura identiquement
et le module principal de F(^) ou F(^j) correspondra certainement au module i de la variable y. De cette considération seule on déduira facilement les formules qui, dans la nouvelle supposition, devront être substituées aux formules (34), (Sg) et (4o)- Concevons que, pour abréger, l'on désigne toujours par a la valeur du produit
2 cM-
correspondante au module principal de .x, ou, ce qui revient au même, à la racine x = k àQ l'équation
résolue par rapport à x. La partie réelle de la constante a sera généralement positive; et, si le module de la constante k est renfermé entre
les limites a, a,, le coefTicient A,, de x^' dans le développement de F(.cc) sera, pour de très grandes valeurs du nombre n, déterminé avec une grande approximation, non plus par l'équation (34), mais par la formule
■^ S/rma
de sorte qu'on aura
a étant très rapproché de zéro, pour de très grandes valeurs de n. Si d'ailleurs, après avoir calculé les modules des rapports
on nomme cr le logarithme népérien du plus petit de ces deux modules, on aura rigoureusement : i° en supposant cj > tt,
2° en supposant ct<tc,
„„ FUe^""H+F[A:e (^") J /-^
r''F(kePV~') ^F(ke-P\/~) , - I dp.
§ II- — applications diverses des formules établies dans le premier
paragraphe.
t; Considérons d'abord la fonction
On pourra la présenter sous la forme
Œuvres de C. — S. I, t. I\. l3
la valeur de x étant
D'ailleurs, si l'on nomme A„ le terme constant de la série qui représente le développement du produit x~"e'^^ suivant les puissances entières de X, ou, ce qui revient au même, si l'on nomme A„ le coefficient de x" dans le développement de l'exponentielle e"^, on aura
Ajoutons que, dans le cas présent, la fonction F(;r) restera continue, avec sa dérivée, dans le voisinage de toute valeur finie de x, distincte de zéro, et que la fonction ^v; acquerra le module principal e" pour la valeur i de x, à laquelle correspondra la valeur a -- ^ du produit
2 cAs
Cela posé, il résulte de la formule (41) du § 1 qu'on aura sensiblement, pour de grandes valeurs de /i,
ni
Pour parler avec exactitude, on aura
OL désignant un nombre qui deviendra infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n. De plus, en développant suivant les puissances de D„ les facteurs symboliques renfermés dans l'équation (42) du § I, on trouvera
et l'on aura d'ailleurs
-Ce ''"^^dp'-=.--=L(i-~iu^ f , e~P'dp\.
Enfin, comme, pour de grandes valeurs de n, le facteur binôme, dans le second membre de l'équation (6), se réduira sensiblement à l'unité, il en résulte qu'alors une valeur très approchée de A,, sera donnée par la formule
ou, ce qui revient au même, par la suivante :
(8) kn-=^--s^U^-—+.
L'équation (8) s'accorde avec l'équation connue qui se déduit de la formule donnée par Stirling pour la sommation des logarithmes des nombres naturels, et qui détermine la valeur approchée de -r- • Mais
ces équations fournissent les développements de A„ ou de -v- en séries qui, dans la réalité, sont divergentes; et, lorsqu'on veut s'en tenir à des formules rigoureuses, il convient de substituer à l'équation (6) ou (7) l'équation (5), qui offre un développement de A„ toujours convergent.
Supposons maintenant que, m, n, s étant des nombres très considérables, et la caractéristique A des différences finies étant relative à la lettre s, il s'agisse de calculer la valeur de
On aura évidemment
A„ étant le coefïicient de o(f dans le développement du produit
ou, ce qui revient au même, le terme indépendant de x dans le développement de la fonction
D'ailleurs, si l'on pose
l'équation (9) donnera la valeur de ,x étant
Cela posé, le module de x deviendra un module principal pour la valeur réelle de x qui vérifiera la formule
et, si l'on nomme k cette valeur réelle, alors, pour de grandes valeurs de /î, on aura, en vertu de l'équation (4i) du § I,
a désignant une quantité qui deviendra infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n. La formule (ri) s'accorde avec une équation trouvée par Laplace, et dont j'ai donné une démonstration nouvelle dans le Mémoire sur la conversion des différences finies des puissances en intégrales définies ('). Mais, dans cette formule, a reste inconnu; et, si l'on veut obtenir une valeur exacte de A^, représentée parla somme d'une série convergente, il suffira d'appliquer à la détermination de cette valeur, non plus la formule (4t)' mais la formule (42) du § I, en supposant la fonction Y{x) déterminée par le système des formules (i) et (10).
Il est bon d'observer que le cas général où l'on suppose la valeur de F(^) donnée par une équation de la forme
-X et f(^) désignant deux fonctions déterminées de x, peut être
(') OEuvra de Cauchj, S. II, T. I. — Voir Journal de V École Polytechnique, XXVIIl" Cahier.
EXTRAIT N" 284. tOl
ramené au cas où F(a;) serait simplement de la forme
puisque, de cette dernière forme, on déduit la précédente, en remplaçant X- par le produit
11 en résulte que, dans les équations (42), (^3) du § I, on peut prendre pour k, ou la valeur de x correspondante à un module principal de la fonction .x, ou la valeur de x correspondante à un module
principal de la fonction
Au reste, il est clair que ces deux valeurs de x déterminées, la première par l'équation
la seconde par l'équation
seront très peu différentes l'une de l'autre, lorsque, n étant un très grand nombre, le rapport ^ deviendra très petit. D'ailleurs la valeur/^ de X, déterminée par l'équation (i3) ou (r4), doit toujours, en vertu des principes établis, offrir un module qui ne dépasse pas les limites a, a,, entre lesquelles le module de a; peut varier sans que la fonction .X et même la fonction ¥(x) cessent d'être continues par rapport il la variable x.
Il peut arriver que la fonction -x, qui se trouve élevée à la n'''"'*' puissance dans le second membre de la formule (12), n'offre point de module principal correspondant à un module de x qui ne dépasse pas les limites a, a,. Il peut même arriver que la fonction .x n'offre point de module principal correspondant à aucune valeur finie de x. C'est ce qui aura lieu, en particulier, si l'on suppose
X' z= jc ou <X = ^-'.
Dans des cas semblables, la détermination de A„, c'est-à-dire du terme constant que renferme le développement de la fonction ^(cc), ne peut plus s'effectuer de la même manière, c'est-à-dire à l'aide de l'équation (4i)' (42) ou (43) du § I. Mais on ne doit pas renoncer, pour ce motif, à établir des formules qui fournissent, pour de grandes valeurs de n, ou une valeur très approchée, ou même le développement de A„ en une série très rapidement convergente. Alors, en effet, de telles formules peuvent encore se déduire de l'équation (12) du § I. Nous allons entrer à ce sujet dans quelques détails.
Supposons, pour fixer les idées, que, dans la formule (12), on ait
et, par suite,
Supposons encore la fonction î(x) décomposable en deux facteurs, dont l'un soit une certaine puissance d'un binôme de la forme
par conséquent, d'un binôme proportionnel à la différence
en sorte qu'on ait, par exemple,
et, par suite.
Enfin, supposons que la fonction /(a?) reste continue, avec sa dérivée, pour tout module de x qui ne dépasse pas la limite supérieure a, ni la limite inférieure a,; et que ces deux limites comprennent entre elles le module de la constante k. Si l'on nomme x un module de la variable X, compris entre ces limites, mais inférieur au module de k, et A„ le terme indépendant de x, dans le développement de f{x) cor-
respondant à ce module, et ordonné suivant les puissances entières de X, on aura
(i8) A„=: — / .Y{x)dp,
la valeur de x étant
(19) œz=.\eP^-^ .
Il y a plus : si l'on nomme h une constante dont le module, inférieur à celui de k, se trouve lui-même renfermé entre les limites a, a,, on pourra, dans l'équation (18), supposer la valeur de x déterminée, non seulement par la formule (19), mais encore par la suivante
(20) x-=zheP'J-''\
et, en prenant, pour abréger,
on tirera de l'équation (18), jointe aux formules (17) et (20),
(22) ' kn---^--- Ç e-^P<^'{\~\eP<~)~' f{heP^^')dp.
Enfin, si dans l'équation (22) on fait varier h de manière à le rapprocher indéfiniment de la limite k^ le rapport \-~ - s'approchera indéfiniment de la limite i, et, en passant aux limites, on trouvera
(23) A„=^-^ r e-'^P ^~' {i — eP <-'')"' f{keP^~ ) dp
