V — TZ
OU, ce qui revient au même,
(24) A„--^r e~^"'^''^'"^~'(—2^m^sr-^i\'f{keP^~')dp,
pourvu toutefois que l'intégrale comprise dans le second membre de la formule (23) ou (24) conserve une valeur finie et déterminée. Cette dernière condition sera remplie, si la constante s offre ou une valeur
négative, ou une valeur positive, mais inférieure à l'unité. Alors, en effet, on aura
* st:
- cos — :
— / ('— Pi/ — f Y^ dp — - cos — / />-' dpr=i — et, par suite, l'intégrale
ayant une valeur finie et déterminée, on pourra en dire autant, non seulement de l'expression
isin --\J- I j dp,
mais encore de la valeur de A,, donnée par l'équation (23) ou (24), et cette valeur de A„ se confondra précisément avec celle que fournira l'équation (22) pour des valeurs infiniment petites de i — \.
Il nous reste à montrer le parti qu'on peut tirer, pour la détermination de A„, des formules que nous venons d'établir, en supposant que l'on développe dans la formule (22) la fonction
OU, dans les formules (23) et (24), la fonction
en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de/?.
Le développement de la fonction /(keP^) suivant les puissances ascendantes de/? a pour premier terme
et, si l'on pose, pour abréger,
(25) f(keP^'-')^.f{k)+pP,
P sera une fonction de p qui restera continue avec ses dérivées des
divers ordres, dans le voisinage d'une valeur nulle de^, pour laquelle on a
Comme on trouvera d'ailleurs, pour des valeurs entières de n,
'-^ — Tl
la valeur de [5]^ étant
on tirera de l'équation (23), jointe à la formule (25),
(28) A«=[5]„A-V('^)(i + a), la valeur de a étant
<'9> °'=2,r[.]'./(^)Xy"'"^<'-''''^)'>'P'^/>-
D'autre part, comme on aura
l'équation (29) pourra être représentée sous la forme
la valeur de xip) étant
et il est clair que la fonction de />, ici représentée par x(/^)' restera, tout comme la fonction P, finie et continue, avec ses dérivées des divers ordres, dans le voisinage d'une valeur nulle de p. Cela posé, en intégrant par parties et faisant porter l'intégration sur le facteur
OFMvres de C. — S. l, t. IX. l4
on trouvera
TV
la valeur de .Vêtant
Mais une intégrale de la forme
g„p v-i (— p \j'-- I )~* ^ ( p) dp ■
est équivalente à l'expression
et par suite, quand on a ^ < i , elle offre un module inférieur au produit de l'intégrale
- / p-' dp =
par le plus grand des modules de x(P) correspondants à des valeurs de p comprises entre les limites — ir, -hiz. Donc, si l'on nomme s le plus grand des modules qu'acquiert, pour de telles valeurs de p, la différence
X{p) — PX'(P)S^^^y
le dernier des deux termes dont se compose le second membre de l'équation (32) offrira un module inférieur au produit
et par suite la valeur de iV, que fournit l'équation (32), demeurera finie pour des valeurs infiniment grandes de n.
Ce n'est pas tout. On tire do la formule (27)
^^^) '-^-'«~r(.or(« +-I)'
et des formules (3) et (4)
(34) r(n + i) = /î"<r-"v^2Tr«(i + ô),
B désignant un nombre qui s'évanouit avec -; et la formule (34) continue, comme l'on sait, de subsister dans le cas même où n cesse d'être un nombre entier. Gela posé, l'équation (33) donnera sensiblement, pour de très grandes valeurs de n.
et, par conséquent,
Or, de la formule (35), jointe à l'équation (3i), il résulte évidemment- que, pour de très grandes valeurs de n, le rapport
et même la valeur de a, se réduiront sensiblement à zéro, si l'on suppose s compris entre les limites o, i. Donc, dans cette supposition, le second terme a du facteur binôme i -f- a, que renferme la formule (28),
deviendra infiniment petit en même temps que -; et alors, en négligeant le second terme, on tirera de la formule (28) une valeur de A„, qui sera très approchée pour de très grandes valeurs de n.
Revenons maintenant à la formule (22), et supposons que le nombre n soit inférieur à ceux qui représentent les logarithmes népériens des modules des deux rapports
Dans cette hypothèse, l'expression
sera développable en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'argument/?; et, si l'on pose
(36) f{heP'J~') = lc„,p'\
on verra l'équation (22) se réduire à la formule
(87) An=—lf e-"Ps/~^(j-lePs/~)-'c,„p"'dp.
Si d'ailleurs on fait, pour abréger,
(38) — - / e-"P^/-'(l-leP^'-^)-'dp = ^X,, ' , on aura, par suite,
~ f e-''P^~'{i — leP\/~^)-'p"^ dp = (v/^)'" D;r Dî,,
et de cette dernière formule, jointe à l'équation (22), on tirera
(39) An^h-'^f{he-^'')OL.
Si, dans l'équation (Sg), on fait varier h de manière à le rapprocher indéfiniment de la limite X:, le rapport
s'approchera indéfiniment de la limite i ; et, en passant aux limites, on tirera de la formule (39)
( 4o ) A„ = A-'» /( ke-^" ) DL,
la valeur de 01, étant
(40 3L—--i e-''P\/-'(i~eP'f^)-'dp;
par conséquent on aura
(42) A„= ~A:-«/(A-e-D«) / e-»P^' {i- eP^J-'Y' dp,
pourvu que la série dont la somme sera représentée par l'expression symbolique
reste convergente dans le cas même où l'on posera X = i . Ajoutons que cette dernière condition sera certainement remplie si le nombre t. est inférieur à ceux qui représentent les logarithmes népériens des modules des deux rapports
et si d'ailleurs la constante s offre ou une valeur négative, ou une valeur positive, mais inférieure à l'unité. Alors, en effet, on pourra substituer à la formule (22) la formule (23), puis, à l'équation (36), une équation de la forme
(43) f{keP^') = lc,„p'"',
et de l'équation (43), combinée avec la formule (23), on déduira immédiatement les formules (4o) et (4i) ou, ce qui revient au même, la formule (42).
Il pourrait arriver que, dans la formule (16), la fonction /(a:) fût décomposable en deux facteurs qui seraient développables, le premier suivant les puissances positives de x, pour tout module do x inférieur à une certaine limite a, le second suivant les puissances négatives de x ou, ce qui revient au même, suivant les puissances positives de -, pour tout module de x supérieur à une certaine
limite
En désignant par 9(0:) et par i(^ ces deux facteurs, on aurai
par conséquent
Alors aussi, en supposant toujours les modules des constantes h et A:
renfermés entre les limites
et nommant A,^ le coefficient de œ" dans le développement de f(x) correspondant à un module de x renfermé entre les mêmes limites, on tirerait de la formule (39)
la valeur de SIL étant déterminée par l'équation (38); et de la formule (4o)
(46) A„== /"» 9(A-e-i>'.) x(A"iei>")^,
la valeur de siL étant déterminée par l'équation (4i)-
Enfin, il pourrait arriver que, dans la formule (16), on eût
F(m, ^') désignant une fonction des variables u, v qui resterait continue, avec ses dérivées du premier ordre, pour des modules de ces variables respectivement inférieurs à certaines limites
et qui serait par conséquent développable, pour de tels modules, suivant les puissances ascendantes de u et de v. Alors la formule (16) donnerait
et, en supposant les limites a, — toutes deux supérieures aux modules des constantes A, k, on tirerait de la formule (39)
(48) A„= A-^f (Ae-»", A-'ei»")X,
EXTRAIT N° 28i. 111
la valeur de 3^:, étant toujours déterminée par l'équation (38), et de la formule (4o)
(49) A„=A~«.f(A'e-i>", Ar-'e»»)'^»
la valeur de se étant déterminée par l'équation (40-
Les équations symboliques (45) et (46) ou (48) et (49) ne sont pas, il est vrai, plus générales que les formules (89) et (4o). desquelles nous les avons déduites. Mais ce qui les rend dignes de remarque, c'est que par un simple changement de notation, ces équations symboliques peuvent être immédiatement transformées en d'autres, qui reproduisent des résultats déjà obtenus dans les précédents Mémoires, comme je vais le montrer en peu de mots.
En supposant que la caractéristique A des différences finies se rapporte à la lettre n, on a
et, par suite,
ou, ce qui revient au même,
e-D.— ,V, la valeur de V étant
Or, en vertu des formules (5o) et (5i), l'équation (48) donnera
(53) A„= /i-" J(/i — AV, /r-' + /i-i A) Jb,
et l'équation (49) donnera
(54) A„=/c-'^#(A-- AV, A-'-[-A-iA),)î,.
Ce n'est pas tout : comme, pour des valeurs entières de n, on tirera de la formule (38)
et de la formule (4i)
l'équation (53) pourra être réduite à la suivante
(55) A„= A-« Hh — AV, h-' -\~ /i-' A) I [.v]„X« j, et l'équation (54) à la suivante
On se trouvera donc ainsi conduit à deux nouvelles équations symboliques, desquelles on tirera la valeur de A;, en développant le facteur symbolique
#(A-/iV,A-> + A-'A) ou ^(A: — A-V, Â:-»^- A-^A)
suivant les puissances ascendantes des lettres caractéristiques V et A. Si, pour fixer les idées, on part de la formule (56), alors, en opérant comme on vient de le dire, on obtiendra pour le développement de A^ une série double dont le terme général sera proportionnel à l'expression
ou, ce qui revient au même, à l'expression
m, m' étant deux nombres entiers quelconques. Il y a plus : ce développement sera précisément celui auquel on parviendra en observant, d'une part, que, pour obtenir le coefFicient de af dans le développement de f(^), il suffît de multiplier par tr" le coefficient de x^ dans le développement de ï{l;x)', d'autre part, qu'on a, en vertu de la formule (47),
(07) {{kx) = {i — x)-'§{kx,k-^x-^)
ou, ce qui revient au même,
(58) ï{kx) = (i — x)-'§{k — ky, /"M- k-^z),
les valeurs de y, z étant
et en cherchant les divers coefficients de x", dans les divers (ormes de la série double qui représentera le développement du produit
suivant les puissances ascendantes des variables y, z, par conséquent dans des termes dont chacun sera proportionnel à un produit do la forme
Cela posé, on déduira sans peine des principes établis dans les précédentes séances, et spécialement dans les séances du 3 et du 24 février, les conditions sous lesquelles subsistera la formule (^(>). On établira ainsi, en particulier, la proposition suivante :
Théorème. — Soit f(^) une fonction de x, décomposable en deux facteurs dont le premier soit de la forme
s désignant un exposant réel, et k une constante quelconque. Supposons de plus que le second facteur de f (a?) soit représenté par la fonction
qui reste continue par rapport à x, avec sa dérivée du premier ordre, pour tout module de x, compris entre deux limites, l'une supérieure a, l'autre inférieure a , entre lesquelles se trouve renfermé le module de la constante k. On pourra pour un module de x, supérieur à la limite a, et infé- T'ieur au module de k, développer la fonction
en une série simple et convergente ordonnée suivant les puissances entières de la variable x. Soit A„ le coefficient de x" dans cette même série, n étant un nombre entier quelconque. Si la fonction de y, z, représentée par l'expression
Clùwrcs de C. — S. I, t. IX. l5
reste continue avec ses dérivées du premier ordre pour des modules des variables y, z, respectivement inférieurs à certaines limites
y, z, qui vérifient la condition
alors, pour obtenir la valeur de A,^ développée en une série double et convergente, il suffira de développer, suivant les puissances ascendantes de V et ùi, le facteur symbolique
Hk~kV, A-' + A-'A), renfermé dans le second membre de la formule (56) A„ = k-'^ J{k - kV, A-' H- A->A) [sl„
et d'avoir égard aux deux équations
P T .S(,Ç + I). . .(,Ç + /l — l) rr * T -,
qui subsistent pour des valeurs quelconques des nombres entiers n, m, m'. Déplus, si les modules y, z, sans vérifier la condition (60), satisfont du moins aux deux suivantes
alors, la série double qui représentera le développement de A„, en vertu de la formule {^Ç)), sera, sinon une série convergente, du moins une série syntagmatique dont la somme syntagmatique se confondra précisément avec la valeur cherchée de k^.
Corollaire I. — Puisque la fonction ff(x,^ reste continue, par hypothèse, pour un module de x égal au module de k, elle acquerra nécessairement pour x = k une valeur finie. Supposons d'ailleurs, comme nous le ferons désormais, que cette valeur finie diffère de
zéro; alors, en vertu de la formule
k sera certainement une valeur de x propre à vérifier l'équation
si la constante s est négative, et à vérifier, au contraire, l'équation
si la constante 5 est positive.
Corollaire IL — Supposons que l'unité soit comprise entre la limite inférieur a et le module de k. Alors la valeur de A„, que détermine le théorème énoncé, pourra représenter le coefficient de x" dans le développement de f(^) correspondant au module i de la variable x. Si d'ailleurs la constante s est positive, k sera, comme nous l'avons dit (corollaire I), une des racines de l'équation (63), et même celle de ces racines qui offrira le plus petit module au-dessus de l'unité, puisque la fonction î{x) devra, dans l'hypothèse admise, rester continue et par conséquent finie, pour tout module de x compris entre la limite i et le module de k.
Corollaire III. — La formule générale
donne successivement
A^[^]„ = {8- 2],,+,, VA[5], = [s- 2],+,, P[5]„ = [s- 2],,
Or il résulte de ces diverses formules que, dans le cas où le nombre n deviendra très considérable, le développement de k^ tiré de l'équation (56) pourra être, sans erreur sensible, réduit h un petit nombre de termes, puisque, à la suite d'un premier terme représenté par le produit
ce développement offrira deux termes de l'ordre du rapport -> puis trois termes de l'ordre du rapport ~^, etc. Ajoutons que, en vertu des mêmes formules, l'équation (56) donnera
a devant être infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n. D'ailleurs l'équation (62) ne diffère pas de la formule (28), et par conséquent cette dernière formule continue de subsister quand on suppose remplie, ou la condition (60), ou du moins les condilions (61 ).
§ III. — Formules relatives aux fonctions de deux variables. Application de ces formules à l'Astronomie.
Soit
une fonction de deux variables x, y, qui reste continue, avec ses dérivées du premier ordre, pour des modules de ces variables très voisins de l'unité. Cette fonction sera, pour de tels modules, développable en une série double et convergente, ordonnée suivant les puissances entières de X et de y. Cela posé, nommons m, n deux nombres entiers, et
le coefficient du produit
dans le développement ainsi obtenu. Les formules établies dans ce Mémoire et dans les précédents fourniront divers moyens de déve-
lopper le cocfîicicnt dont il s'agil, ou même les quatre cocfricients
des quatre produits
a:'"/", x-'^y", ôc'"/"", x-"\y-"-,
en séries rapidement convergentes, dont les sommes pourront être sensiblement réduites à leurs premiers termes quand les nombres m, n deviendront très considérables. Pour donner une idée des résultats auxquels on parvient de la sorte, cherchons, en particulier, la formub» qui, pour de très grandes valeurs de m et de n, fournira la valeur très approchée du coefficient
•f* — in, ri'
Concevons que les deux équations
étant résolues par rapport à y, offrent des racines dont les modules soient pour l'équation (i) inférieurs, et pour l'équation (2) supérieurs à l'unité. Soit d'ailleurs, parmi les racines de la seconde équation. V celle qui offre le plus petit module au-dessus de l'unité; et, poui' mieux fixer les idées, supposons la fonction F(.r, r) de la forme
(3) ¥{œ,y) = [i-tj''f{x,y),
la constante s étant positive, la racine v pouvant être fonction de x, et f{x, y) désignant une fonction de x, y, qui reste continue par rapport à /, avec ses dérivées du premier ordre, pour tout module de y compris entre des limites dont la plus petite soit inférieure à l'unité, et la plus grande supérieure au module de v. Si l'on nomme A„ le coefficient de y" dans le développement de Y{x, y), on aura, en veilu de la formule (28) du § II,
(4) K = [sl,v-f{x,,'){i + &),
^ devant être infiniment petit en même temps que - •
D'autre part, quand A« sera connu, il suffira pour obtenir k,ri,Ti de chercher le terme indépendant de x dans le développement du produit
ordonné suivant les puissances entières de x. D'ailleurs, en vertu de la formule (4). on aura
et, dans le second membre de l'équation (5), le produit x"'v~" peut être considéré comme représentant une puissance très élevée, savoir la w"'"^ puissance du produit
tn
Donc, pour appliquer à la détermination de A,„,„ la formule (4') du § I, on devra chercher d'abord la valeur de x correspondante au mo-
dule principal du produit x^v^ ou, ce qui revient au même, la valeur de X correspondante au module principal du produit
Nommons u cette valeur de x. Si, le module de x venant à croître ou à décroître à partir de l'unité, la fonction de x représentée par A„ reste continue, avec sa dérivée du premier ordre, pour tout module de x qui ne dépasse pas certaines limites entre lesquelles se trouve renfermé, non seulement le module i, mais encore le module de u, on tirera de la formule (5), jointe à l'équation (4i) du § T,
a devant être infiniment petit en même temps que les rapports — > -> la valeur de a étant
et la valeur de x devant être réduite k u dans le second membre de l'équation (7).
Pour montrer une application des formules qui précèdent, considérons le cas où les deux variables x, y représentent les exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies excentriques 'j', 'I', relatives à deux planètes données. La distance ^ de ces deux planètes aura pour carré une fonction rationnelle de x, y, qui sera entière et du second degré par rapport à chacune des variables
Il en résulte que l'équation
pourra être réduite à une équation entre les deux variables x, y, qui sera, par rapport à chacune d'elles, algébrique et du quatrième degré seulement. D'autre part, la fonction perturbatrice, relative au système des deux planètes, sera la somme de deux quantités, dont l'une sera proportionnelle au rapport
et les perturbations périodiques d'un ordre élevé pourront se déduire assez facilement de la détermination des coefficients qui correspondront à des termes, dont le rang sera considérable, dans le développement de - en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes de X, y. Cela posé, nommons
le coefficient de
dans le développement de -• Pour de très grandes valeurs de m et n,
une valeur très approchée de ce coefficient sera fournie par l'équation (6), pourvu que l'on prenne
iîO COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
Si d'ailleurs on pose, pour plus de commodité,
(lo) Si = t\
l'équation (8) deviendra
(it) a^io,
el la formule (9) don-nera
Or il est clair que, dans le cas présent, la valeur particulière de y, représentée par ^^j sera une racine de l'équation (2) réduite à la formule (11); et, déplus, il résulte de l'équation (12) que l'on aura
Enfin, comme je l'ai déjà remarqué, on a sensiblement, pour de grandes valeurs de n,
et, par suite, en posant s = ^,
Donc la formule (6) donnera
( ï 4 ) A,„,„ — ■Ll-'--! ( 1 + a ) .
D'ailleurs, on reconnaîtra sans peine que, dans cette dernière formule, u, ç représentent des valeurs particulières de x, y, propres à vérifier les deux équations simultanées
(i5) ^1 = 0, — D^cfl-f- -Dycîl — o.
Dans de prochains articles, nous examinerons de nouveau la formule (i4) avec les conditions sous lesquelles elle subsiste, et nous discuterons aussi la formule analogue qui sert à déterminer les coeffi-
<'ients d'un rang très élevé dans le développement de - en une série
double ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles trigonométriques dont les arguments représentent, non plus les anomalies excentriques, mais les anomalies moyennes des deux planètes.
Astronomie. — Rapport sur un Mémoire de M. Le Verrier, qui a pour objet la détermination d'une grande inégalité du moyen mouvement de la planète P allas.
