JU
mais encore
(9) ^-=Tli-V-''
la valeur de s étant
Cela posé, on pourra évidemment à l'équation (9) substituer la suivante
si le nombre / est assez considérable pour qu'on puisse, sans erreur sensible, négliger la somme s, déterminée par la formule (10). Enfin, si l'on nomme ^l,„' le coefficient de l'exponentielle
dans le développement de - en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable
et si l'on indique par le signe L une somme de termes semblables et correspondants aux diverses valeurs de af qui vérifient l'équation
(12) ar"'=i,
lU COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
on aura, non seulement
(i3) cW=— / d'^\
mais aussi
la valeur de s' étant
et à l'équation (i4) on pourra évidemment substituer la suivante
si le nombre /' est assez considérable pour que l'on puisse, sans erreur sensible, négliger la somme s' déterminée par la formule (i5). Soit maintenant
Je coefficient de l'exponentielle
(«'4''— «4') sj—'^
dans ie développement de ^ en série ordonnée suivant les puissances entières des deux variables
On aura, non seulement
uiais encore
et l'on tirera de l'équation (i8), combinée avec les formules (9) ot(i3),
la valeur de i étant
(30) t = / SX'^ d'il,
puis de l'équation (17), combinée avec les formules (i4) et (8),
la valeur de i' étant
y-.TT
11 est bon d'observer que, les modules de x" et de a?'""' étant égaux à l'unité, les modules de i et de i' seront respectivement inférieurs, en vertu des formules (20) et (22), le premier, au plus grand module de la somme représentée par s, le second, au plus grand module de la somme représentée par s' . Donc, pour obtenir la valeur du coefficient ci,,,'__„, avec un degré donné d'approximation, en sorte que l'erreur commise ne surpasse pas une certaine limite fixée d'avance, il suffira d'employer, au lieu de l'équation (19), la formule
(23) A.„.„=l2Ao„.:r-,
en supposant /choisi de manière que le module de la somme s reste toujours inférieur à la limite dont il s'agit, ou, au lieu de l'équation (21), la formule
en supposant /' choisi de manière que le module de la somme / reste toujours inférieur à cette même limite.
Des formules (23) et (16), ou (24) et (i i), on tire immédiatement
la somme qu'indique le signe £ s'étendant à toutes les valeurs de a:, a;' qui vérifient les équations (3) et (12).
OEuvres de C. — S. I, t. IX. - 19
Les formules (ii), (i6), et par suite la formule (20) qui se déduit des deux premières, ne diffèrent pas des formules d'interpolation connues depuis longtemps, et relatives à une ou à deux variables. Déjà, dans le § III du Mémoire publié en i832, j'avais indiqué ces formules d'interpolation comme applicables au développement de la fonction perturbatrice. On peut effectivement, lorsque les nombres n, n' deviennent considérables, faire servir l'équation (26), ou d'autres formules du même genre, à la détermination des coefficients que renferme le développement dont il s'agit. Mais il est plus simple de combiner l'équation (23) ou (24) avec d'autres formules que je vais maintenant rappeler.
Comme je l'ai remarqué dans la deuxième Note, la valeur de t est de la forme
Ci — fljc'e-?v^) (i — a^'-»e?v/=^) (i— b^'e?\^^) (i— b^'-'g-W^^ (26) t^=^^ ^^r^ '
les modules a, b, m: et l'angle 9 étant des fonctions de la variable '\i. Gela posé, on aura
Soient d'ailleurs
a„. et isoles coefficients de x"' dans les développements des deux produits
et faisons, pour abréger, non seulement
mais encore
On trouvera, pour des valeurs positives de /z',
la valeur de Jï^^' étant o V I ï I 1-3 1.3 „
^ ' 2 2n'-h2 2.4 (2rt'4- 2) (2/l'+ 4)
On aura donc, pour des valeurs positives de n',
et pareillement
En adoptant ces valeurs de J^±«' et de |B±„', on tirera de la formule (27)
(33) -=^2a„'^'«'e-«'9v^lÔ„.:r'«'e"'<Pv/^,
chacune des sommes qu'indique le signe 2 devant être étendue à toutes les valeurs entières, positives, nulle et négatives de n'. Enfin, si l'on égale entre eux les coefficients de x^' dans les développements des deux membres de la formule (33), on trouvera
On peut assez facilement, et avec un degré d'approximation fixé a priori, déterminer la valeur de <JU;j',„, en joignant l'équation (34) à la formule (^3), ou l'équation analogue qui fournirait la valeur de x„ à la formule (24).
Dans le cas où le nombre n' devient considérable, les formules (3 1 ), (32) donnent, à très peu près,
D'ailleurs, dans notre système planétaire, le module b, dont la première valeur approchée se réduit à zéro [voir la formule (3o) de la deuxième NoteJ, reste généralement très petit. Donc, appliquée à ce système, la formule (36) donnera sensiblement
Bo— I, Î3i = î3 i — o, î:!2=^-2=o»
Donc, en vertu des formules (34), (35), on aura encore à très peu près, pour des valeurs positives de n',
(37) ,u„.^[i],^,(i„2)-ïat'a'»'e-«'?N/=T.
Il y a plus : comme, pour de grandes valeurs de /^', on a sensiblement
la formule (37) pourra être remplacée par la suivante :
