C. R., T. XX, p. 375 (1- février t

Les progrès réalisés de nos jours dans les diverses branches des Sciences physiques et mathématiques témoignent de l'ardeur avec laquelle l'esprit humain, créé pour connaître la vérité, s'attache à sa poursuite. Dans son impatience, il veut qu'une vérité déjà démontrée lui serve comme d'échelon pour arriver à une vérité plus difficile à saisir; il s'élève, il généralise, il essaye de s'élancer dans l'infini; et c'est précisément cette tendance de notre esprit qui a fait longtemps admettre en Analyse, comme un principe en quelque sorte évident, ce qu'on appelait la généralité de l'Algèbre, c'est-à-dire l'étendue indéfinie des formules algébriques obtenues dans certains cas particuliers. Plus tard on est parvenu à reconnaître que, dans la réalité, la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions et pour certaines valeurs des quantités qu'elles renferment. On a vu, dans mes précédents Mémoires, que la grande loi qui limite l'existence des formules est la loi de continuité des fonctions, dans le cas où l'on donne àii'i fonctions continues, non pas la définition longtemps adoptée par les géomètres, mais celle que présente mon analyse algébrique. Toutefois, la règle que je viens de rappeler a une étendue plus grande encore que celle qui paraissait devoir lui être attribuée au premier abord. Considérons, pour fixer les idées, une variable réelle ou imaginaire. On pourra concevoir que l'on fasse varier par degrés insen-

sibles ou le module seul de cette variable, ou tout à la fois sou module et son argument. Si, pour plus de commodité, on regarde ce module et cet argument comme propres à représenter dans un plan les coordonnées polaires d'un point mobile, les diverses valeurs de la variable et d'une fonction quelconque de cette variable correspondront aux divers points de ce plan. Cela posé, la fonction restera généralement continue, non pas seulement pour des valeurs du module renfermées entre certaines limites, ou, ce qui revient au même, pour toutes les positions du point mobile comprises entre deux cercles concentriques, mais pour tous les systèmes de valeurs du module et de l'argument qui satisferont à certaines conditions, c'est-à-dire pour toutes les positions du point mobile comprises entre certaines courbes. Or je prouve maintenant que ces courbes indiquent précisément les limites entre lesquelles subsiste l'équation qu'on obtient en égalant la fonction à zéro; en d'autres termes, je prouve que ces deux courbes indiquent précisément la région du plan pour laquelle subsiste la formule, région qui se trouvait notablement restreinte quand on avait recours aux théorèmes énoncés dans les précédents Mémoires, c'està-dire quand on substituait au système des deux courbes dont il s'agit le système de deux cercles concentriques tracés de manière à ne point couper les deux courbes.

Parmi les résultats importants que je déduis de mes nouvelles formules, il en est un qu'il me paraît utile de signaler.

On sait que les séries jusqu'à ce jour employées en Astronomie ne permettent pas de calculer, sans un travail pénible et souvent inexécutable, les perturbations planétaires d'un ordre un peu élevé. Je substitue à ces séries des séries nouvelles, dans la composition desquelles entre un nouvel élément ou paramètre digne de remarque et que je vais indiquer.

Concevons que l'on représente par deux lettres distinctes les deux exponentielles trigonométriques variables qui ont pour exposants les anomalies excentriques de deux planètes. La distance de ces planètes, exprimée à l'aide des deux lettres ou variables dont il s'agit, étant

OF.iwres de C. — S. 1, t. IX, 5

égalée à zéro, fournira une équation algébrique qui sera du quatrième degré par rapport à chaque variable; et, si l'on résout cette équation par rapport à la première variable, une seconde équation algébrique, qui ne renfermera plus que la seconde variable, aura pour racines les carrés des différences entre les racines de la première équation. Or celle des racines de la seconde équation qui offrira le plus grand module au-dessus de l'unité sera précisément l'élément principal qui entrera dans la composition des nouvelles séries, dont les divers termes dépendent tout à la fois de ce nouvel élément et de ceux qui ont été jusqu'ici considérés par les géomètres sous le nom d'éléments elliptiques.

Analyse.

§ I. — Considérations générales.

Nous commencerons par établir la proposition suivante : Théorème I. — Soit

une variable réelle ou imaginaire, dont le module r et l'argument p pourront être censés représenter dans un plan les coordonnées polaires d'un point mobile P. Soit, de plus, ï{x) une fonction de la variable x, qui demeure continue, par rapport à cette variable, pour toutes les positions que peut prendre le point mobile dans une certaine région du plan comprise entre deux courbes continues abc..., ABC Enfin, supposons que,

dans le cas où le point mobile occupe, ou une position particulière correspondante à des valeurs déterminées de r et p^ ou des positions voisines, la fonction f (ip) soit développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances entières de x, en sorte qu'on ait alors

(i) f{œ) -—. . .«2.r-^+ a i^~' + ao+ «i-i-' -H «2^^-4-. . .

ou, ce qui revient au même,

{■2) f{x) — la„a:",

la somme qu'indique le signe E s étendant à toutes les valeurs entières,

positives, nulle et négatives de n, et les deux modules ou le module unique de la série, dont le terme général est a^x", étant inférieurs à l'unité. L'équation (i) ne cessera pas de se vérifier si l'on fait varier par degrés insensibles la position du point mobile P, pourvu que ce point reste toujours renfermé entre les deux courbes abc. . . , ABC. .., et que, pendant la durée de son mouvement, les deux modules ou le module unique de la série dont le terme général est a^ x'^ restent toujours inférieurs à l'unité.

Démonstration. — Le point mobile P étant arrêté dans la position qui correspond aux valeurs données de r, p, nommons P' un point voisin de P. Soit

ce que devient x quand on passe du point P au point P'. Enfin nommons p le module, et u l'argument de la différence

en sorte qu'on ait

Si le module p, supposé d'abord nul, vient à croître, la fonction

restera fonction continue de ^, tant que ce module ne sera pas assez considérable pour que le cercle décrit du point P comme centre, avec le rayon p, rencontre l'une des courbes abc..., ABC...; et alors on aura

(4) {{x + l)=ï{x) + \D^i{x)-^^li'J{x)^-....

Si, dans cette dernière formule, on substitue la valeur de ïÇv), tirée de l'équation (2), on trouvera

(5) \{x + l) ^^a^x'^^l^-^a^x" -^ + l^y^ '}1!LT.'J a „x- -'- + ... .

Si maintenant on développe les sommes que renferme le second

membre de la formule (5), on verra le second membre se transformer en une série double dont le terme général sera de la forme

n(n — i)...(n — m-hi) ^

n désignant une quantité entière positive, nulle ou négative, m un nombre entier, nul ou positif, et le rapport

devant être remplacé par l'unité pour une valeur nulle de m. Il y a plus : cette série double sera précisément celle qu'on obtient quand on développe la somme

attendu qu'on a généralement

Donc l'équation (5) pourra être réduite à la formule

ou, ce qui revient au même, à la formule

(6) î{x')~'La^x'%

si la série double en question est convergente. Or c'est ce qui aura certainement lieu, du moins pour une valeur de p suffisamment petite, si, comme on le suppose, les deux modules de la série simple qui a pour terme général a„x" sont inférieurs à l'unité. En effet, nommons

k et k,

ces deux modules, k étant le module correspondant aux termes qui renferment des puissances positives de x\ et soit / le module de la variable imaginaire

Les deux modules de la série dont le terme général est

seront évidemment

D'ailleurs le module r' étant, en vertu de l'équation (3), nécessairement compris entre les limites

/•'— p, /"'-Hp,

le rapport

se rapprochera indéfiniment de l'unité pour des valeurs décroissantes du module p, et l'on pourra en dire autant du rapport inverse

Donc, pour des valeurs décroissantes de p, les deux modules

de la série dont le terme général est a^^x'" se rapprocheront indéfiniment des deux modules

de la série dont le terme général" est a„x'\ et finiront, dans l'hypothèse admise, par devenir, comme k et k , inférieurs à l'unité. Par suite, dans cette hypothèse, il suffira d'assigner une valeur suffisamment petite au module p de la différence x — x, pour que l'équation (2) entraîne l'équation (6).

Ce n'est pas tout. Si les conditions énoncées dans le théorème 1 ne cessent pas d'être remplies quand on remplace x par x\ alors, x" étant supposé très voisin de x' , on prouvera encore de la même manière qu'il suffit d'assigner une valeur suffisamment petite au

module de la'difFérence x" — x' pour que l'équation (6) entraîne la suivante

(7) î{x") = la„x"\

etc.

En d'autres termes, l'équation (2) ne cessera pas de se vérifier quand on y remplacera successivement x par x\ puis x"y . .. ; et, comme la limite vers laquelle convergeront les termes de la suite

%A^ j \X/ y \Ay y • • •

ne pourra être qu'une valeur de x correspondante à un point P situé sur l'une des courbes abc . . . , ABC . . . , ou une valeur de x pour laquelle un module au moins de la série dont le terme général est a^x'^ se trouvera réduit à l'unité, nous devons conclure que, si l'on fait varier a? par degrés insensibles, l'équation (2) ne cessera pas de se vérifier tant que les deux fonctions

f(^) et a^x"'

satisferont aux conditions énoncées dans le théorème I.

Corollaire. — Si le coefficient a„ s'évanouit, quel que soit l'indice n, l'équation (2) se trouvera réduite à la formule

et le théorème I à la proposition suivante : Théorème II. — Supposons que l'équation

se vérifie toujours pour des valeurs de x très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire varier le module et l'argument de x par degrés insensibles, cette équation (8) continuera de subsister tant que ï{x) restera fonction continue de x.

On pourrait, au reste, démontrer directement cette dernière proposition et même en déduire le théorème I.

Si la fonction f{x) est la différence de deux autres fonctions, il suffira d'égaler ces dernières entre elles pour obtenir une équation qui se confondra évidemment avec la formule (8). Donc le théorème II entraîne encore le suivant :

Théorème III. — Supposons que deux /onctions de x soient toujours égales entre elles pour des valeurs de x très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire varier x par degrés insensibles , ces deux fonctions seront encore égales tant qu elles resteront l'une et V autre fonctions continues de X.

Les théorèmes précédents peuvent être facilement étendus au cas où il s'agit de fonctions de plusieurs variables. Alors on obtient, par exemple, à la place du théorème III, la proposition suivante :

Théorème IV. — Supposons que deux fonctions de x, y, z-, ... soient égales entre elles pour des valeurs réelles ou imaginaires de x, y, z, . . . très voisines de valeurs données. Si l'on vient à faire varier x, y, z, ... par degrés insensibles, ces deux fonctions resteront encore égales tant quelles resteront V une et V autre fonctions continues de x, y, z, ....

On pourrait, dans le théorème III ou IV, remplacer l'une des deux fonctions que l'on considère par la somme d'une série simple convergente; on pourrait même supposer les divers termes de cette série remplacés à leur tour par les sommes d'autres séries convergentes, et ainsi de suite. D'ailleurs la série double ou multiple qui renfermerait tous les termes compris dans les diverses séries simples pourrait être ou convergente ou divergente. Dans le premier cas, la fonction dont il s'agit serait ce qu'on appelle et ce qu'on doit appeler la somme de la série double au multiple, supposée convergente. Dans le second cas, cette fonction deviendrait ce qu'on peut appeler la somme syntagmatique de la série double ou multiple, supposée divergente. En effet, puisqu'il suffît quelquefois de ranger dans un certain ordre les termes d'une série multiple, mais divergente, par exemple d'une série double, pour la transformer en une série simple et convergente dont chaque

terme soit lui-même la somme d'une série simple et convergente, il est naturel d'exprimer la somme totale à laquelle on se trouve conduit par cet artifice à l'aide d'une épithëte propre à exprimer que ces termes sont rangés dans un ordre déterminé. On sait, au reste, que cette épithëte a été déjà employée dans la langue algébrique, et appliquée par M. Budan à quelques suites qu'il a rencontrées dans des recherches relatives à la théorie des équations.

I II. — Théorèmes relatifs à la détermination des coefficients que renferme le développement d' une fonction en série ordonnée suivant les puissances entières d'une variable.

En partant des théorèmes établis dans le § I de ce Mémoire et dans les Mémoires précédents, on établira sans peine d'autres propositions importantes, que je vais énoncer.

Théorème I. — Soit ï{x,y) une fonction des variables x, y qui reste continue par rapport à ces variables, pour un module de x très voisin de la limite x, et pour un module de y inférieur à la limite y. Supposons d'ailleurs que, dans le cas où l'on attribue au facteur G une valeur réelle, positive et inférieure ou tout au plus égale à l'unité, l' expression

reste, pour un module de x très voisin de x, fonction continue de x et de ô. Enfin concevons que, pour une valeur réelle ou imaginaire de 0 correspondante à un très petit module, on développe la fonction

\^ en une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes de x; 1° en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes de x et de ^; et nommons

A^^ , "^in,n " -^

les termes généraux de ces deux séries. Non seulement on aura, pour un très petit module de d,

1(1 somme quUndique le signe S s' étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de m ; mais, déplus, si l'on attribue à 0 une valeur réelle et positive qui ne surpasse pas l'unité, l'équation (i) continuera de subsister, pourvu que cette valeur positive vérifie encore la condition

Démonstration. — Concevons que, en admettant les suppositions énoncées, on attribue k la variable x un module très voisin de x; alors, pour un très petit module de 0, l'expression

sera fonction continue de x et de 0. Donc alors la série double, qui représentera le développement de cette fonction suivant les puissances ascendantes de x et de ô, sera convergente, et la formule

entraînera l'équation

Concevons maintenant que l'on fasse varier le facteur 6, en lui attribuant une valeur réelle et positive, et que, dans la fonction

on assigne à x un module qui diffère très peu de x, en désignant d'ailleurs l'argument variable de x par la lettre p. Tant que le facteur 6 ne surpassera pas l'unité, l'expression

{{XyB^i — X)]

restera, par hypothèse, fonction continue de ô et de x, et l'on pourra en dire autant du coefficient A„ de x" dans le développement de cette fonction, attendu que ce coefficient A^ pourra être censé déterminé par la formule

(3) kr^=■^fx-''^{a:,Q{l-x)^\dp.

OF.uvrcs de C. — S. F, t. IX. 6

Donc, en vertu du théorème I du § I, l'équation

continuera de subsister pour toute valeur réelle et positive de Ô qui ne surpassera pas la limite i, si d'ailleurs la série dont le terme général est

offre un module inférieur à l'unité. Or cette dernière condition sera certainement remplie, en vertu d'un théorème énoncé dans la dernière séance (p. 28), si l'on a

Corollaire I. — Posons

s désignant une constante quelconque, et la valeur de o{x) étant donnée par la formule

(5) o{.x) — {i~ax)V-{i — bxy...fl>{x),

dans laquelle ix, v, . . . représentent des exposants réels, a, h, ... des coefficients dont les modules a, b, ... soient tous inférieurs à l'unité, et ^{x) une fonction toujours continue de x. Alors on pourra évidemment prendre pour valeur de x un nombre inférieur à l'unité, mais d'ailleurs aussi rapproché que l'on voudra de l'unité. De plus, comme on tirera de la formule (5)

on pourra prendre pour y le plus petit d'entre les modules des rapports

et par suite la condition (2), que l'on peut encore présenter sous la forme

EXTRAIT N" 279. kZ

sera vérifiée si les rapports

a9 bO , -, ...

offrent tous des modules inférieurs à l'unité. Donc elle sera vérifiée pour une valeur de ô réelle, positive et inférieure ou tout au plus égale à l'unité, si les modules des rapports

sont tous inférieurs à l'unité. Enfin, cette condition étant supposée remplie, on peut affirmer que, pour un module de x inférieur, mais sensiblement égal à i, et pour une valeur de 0 positive, mais inférieure ou tout au plus égale à l'unité, la valeur de

déterminée par le système des formules

i[x, 9(1 — x)] = {i — ^)-^ 9(i — 9 -h Ojc),

,(^i-Q + Qa:)=z{i~a+aO)V-{i-b-\-bBy...(i ""^'"^ Xi^ ^-^^^V-^lï- ^

\ I — a -\- aQ I \ I — b -\- b9J

restera fonction continue de x et de 0. Effectivement, pour démontrer cette assertion, il suffira évidemment de faire voir que les rapports

, . aQx bOx

\ ~ a-\- a(j i — b -+- bO

offriront tous des modules inférieurs à l'unité. Or, en premier lieu, le module de x étant supposé très voisin de l'unité, les rapports (7) se confondront sensiblement avec les suivants

aS bB

I — a-\-aB I — b-\-bB

OU, ce qui revient au même, avec les rapports

.^. aB bB

^ ^ I— a(i — ô)' i — b{i—ey

Sx),

D'autre part, le module a de a étant inférieur à l'unité, le rapport

aQ

offrira un module égal ou inférieur à la fraction

a par conséquent égal ou inférieur à la fraction

Donc les modules des rapports (8) seront respectivement inférieurs

aux nombres

Donc, si, en supposant la fonction ï{x,y) déterminée par le système des formules (4) et (5), on nomme

knx'^ et. H,„,„6'»J7« les termes généraux des développements de la fonction

suivant les puissances ascendantes do la seule variable x ou des deux variables ô, x, calculés pour le cas où le module de 0 est très petit, et le module de x, inférieur, mais sensiblement égal à l'unité, non seulement on aura, pour de tels modules de x et de 0,

'-in,n ^ >

mais, en vertu du théorème I, l'équation précédente subsistera encore pour toute valeur positive de 6 qui ne surpassera pas l'unité, pourvu que chacun des rapports

offre un module inférieur à l'unité.

Corollaire II. — Si, dans la formule

on suppose le nombre 0 réduit à l'unité, cette formule deviendra

Alors aussi la fonction

se réduira simplement, en vertu de la formule (4), à la fonction Y{x) déterminée par l'équation

Cela posé, le corollaire I entraînera évidemment la proposition suivante :

Théorème II. — Soit F(ir) une fonction de x déterminée par le système

des formules

( (5^{x)-=^{\ — axY{\ — bxy . . .<b{x),

dans lesquelles s désigne une constante quelconque, [jl, v, ... des exposants réels, a, 6, ... des coefficients dont les modules sont inférieurs à l'unité, et $(a?) une fonction toujours continue de x. Soit, de plus, X„ le coefjficient de x"^ dans le développement de Y(x) calculé pour un module de X inférieur à l'unité, et nommons y la variable complémentaire de x déterminée par l'équation

Non seulement on pourra présenter la valeur de¥(x) sous la forme

Y{x) = {i-x)-^cf{i-y),

mais, de plus, au développement de 0(1 — y) suivant les puissances ascendantes de y correspondra un développement de A„, qui sera convergent et représentera la valeur même de k^, si les rapports

1 — a I — 0 offrent tous des modules inférieurs à C unité.

Corollaire. — Comme, en développant î)(i — j), on trouve

(p(l - JK) =z 2(- i)'« — ^-i- j'", ^ "^ I . 2 . . . /« -^

comme on aura d'ailleurs évidemment

( I — x)-'y"' = ( I — .^)-*+'" = 2 [5 — w]„ x'\ la valeur de [s^^ étant

i .2. . .n il suit du théorème I que si les modules des rapports

sont tous inférieurs à l'unité, on aura

(10) A„=V(jy„j-,,,,j ?UL,

la somme qu'indique le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs nulle et positives de m, et le produit 1.2. 3... m devant être remplacé par l'unité dans le cas particulier où le nombre m s'évanouit.

On pourrait, dans les théorèmes qui précèdent, substituer à la variable complémentaire de x, déterminée par l'équation

le rapport —^ des deux variables complémentaires

œ el ï — X. .—

Alors, à la place du théorème I, on obtiendra la proposition suivante :

Théorème III. — Soit

une fonction des variables x, y, qui reste continue par rapport à y, pour un module de x très voisin de x, et pour un module de y inférieur à la

limite y. Supposons d'ailleurs que, dans le cas où l'on altribue au facteur G une valeur réelle, positive et inférieure ou tout au plus égale à l'unité, l'expression

reste, pour un module de x très voisin de x, fonction continue de x et de 0. Enfin, concevons que, pour une valeur réelle ou imaginaire de 0 correspondante à un très petit module, on développe la fonction

1° en une série simple ordonnée suivant les puissances entières de x\ i^ en une série double ordonnée suivant les puissances entières de x et suivant les puissances ascendantes de 0 ; et nommons

A^n XI û/n ^n

les termes généraux de ces deux séries. Non seulement on aura, pour un très petit module de 6,