II). A, = IH

la somme qu'indique le signe 2 s' étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de m, mais, de plus, si Von attribue à ô une valeur réelle et positive qui croisse à partir de zéro, sans devenir supérieure à l'unité, l'équation (ii) ne cessera pas de subsister, pourvu que l'expression

ne cesse pas d'être fonction continue de 6, dans le cas où, en représentant parla lettre z une nouvelle variable dont le module soit précisément y, on assigne à ô une valeur réelle ou imaginaire dont le module ne surpasse pas l'unité.

Démonstration. — Concevons que, en admettant les suppositions énoncées, on attribue ii la variable x un module très voisin de x.

Alors, pour un très petit module de G, l'expression

sera fonction continue de x et de 6. Donc alors la série double, qui représentera le développement de cette fonction suivant les puissances ascendantes de x et de 6, sera convergente, et la formule

entraînera l'équation

Concevons maintenant que l'on fasse varier le facteur 0, en lui attribuant une valeur réelle et positive, et que, dans la fonction

on assigne à x un module qui diffère très peu de x, en représentant l'argument variable de x par la lettre/?. Tant que le facteur 0 ne surpassera pas l'unité, l'expression

restera, par hypothèse, fonction continue de 0 et de x, et l'on pourra en dire autant du coefficient A„ de a?" dans le développement de cette fonction, attendu que ce coefficient A„ pourra être censé déterminé par la formule

Donc, en vertu du théorème I du § I, l'équation

A,:=1H,„,„9'" continuera de subsister, pour toute valeur réelle et positive de G qui

ne surpassera pas la limite i, si d'ailleurs la série dont le terme général est

offre un module inférieur à l'unité, ou, ce qui revient au même, si cette série ne cesse d'être convergente que pour une valeur de 6 supérieure à l'unité. Or il suit, d'un théorème énoncé dans la séance du lo février, que cette dernière condition sera généralement remplie, si le développement de la fonction

reste lui-même convergent, avec la série modulaire correspondante, pour toute valeur de z dont le module est y. Donc cette même condition sera remplie, si l'expression

'ir^e' V

reste fonction continue de ô, pour toute valeur réelle ou imaginaire de p dont le module ne surpasse pas l'unité, et pour toute valeur de z qui offre un module égal à y.

Corollaire I. — Posons

^désignant une constante quelconque, et les valeurs de 9(^), y{x) étant déterminées par les formules

(i5) (^{x)=z{\ — ax)V- {i — bxy.,.(t>{x),

('6) ■^{x) — {i-a'x)V-'{i-b'xY...X{x),

dans lesquelles [j., v, ..., a', v', ... représentent des exposants réels a, h, ..., a', b', ... des coefficients dont les modules sont inférieurs à l'unité, et $(^7), X(j;) deux fonctions toujours continues de x. Alors on pourra prendre pour valeur de x un nombre inférieur à l'unité,

CEiivres de C. — S. 1, t. IX. 7

mais aussi rapproché de l'unité que l'on voudra. De plus, comme on

aura

X(i + 7) = (I - a'rii - b'Y. . . (i- ^Y ('- x^')' • • •^(' -^y^'

on pourra prendre pour y le plus petit d'entre les modules des rapports

et alors y^{i + z) restera constamment fonction continue de z, pour un module de z égal à y. Enfin, comme on aura

et

il est clair que, pour un module de z égal à y, et pour une valeur de G positive, mais inférieure ou tout au plus égale à l'unité, l'expression

restera fonction continue de ô, si y surpasse, non seulement 0, mais encore les modules des produits

et, à plus forte raison, si y surpasse, non seulement l'unité, mais encore les modules des différences

Donc l'expression

restera, dans l'hypothèse admise, fonction continue de G, si chacun des rapports

offre un module inférieur à l'unité, ou, ce qui revient au même, si les rapports

et les produits de ces rapports par les différences (i8) I — a, I — ^, ...

offrent tous des modules inférieurs à l'unité. D'ailleurs, cette condition étant supposée remplie, on prouvera sans peine, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons précédemment fait usage {voir le corollaire II du théorème I), que l'expression

restera fonction continue de ^ et de 0 pour un module de x inférieur, mais sensiblement égal à i, et pour une valeur positive de G qui ne surpasse pas l'unité.

Corollaire IL — Si, dans la formule (ii), on réduit 6 à l'unité, cette forijiule donnera simplement

D'ailleurs, quand on pose ô = i, la fonction

il œ, 0

V ^' se réduit à

et la formule (i4) donne

Cela posé, les principes établis dans le théorème III et dans son corollaire I entraînent évidemment la proposition suivante :

Théorème IV. — Soit ¥(x) une fonction de x déteiminée par le sys-

o2 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tème des formules

I 9(^) = (i — a^)!^ (i — b x)'' . . , 0(j7), 1 X^x) = {x~a'xY{x-h'xY...^{x),

dans lesquelles s désigne une constante quelconque, u., v, . . , , a', v', ... des exposants réels, a, h, . . . , a' , h' , . . . des coefficients dont les modules sont inférieurs à l'unité, et ^{x), ^{x) deux fonctions toujours continues de X. Soit de plus A„ le coefficient de x" dans le développement de la fonction Y (^x) en série ordonnée suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de x. Enfin nommons y le rapport des variables complémentaires i — x et x^ en sorte qu'on ait

Non seulement la valeur de Y(x) pourra être représentée sous la forme

mais, de plus, au développement de /(i + r) en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de y correspondra un développement de A^ qui sera convergent avec la série modulaire correspondante, et qui représentera la valeur même de A^j, si les rapports

et les produits de ces mêmes 7 apports par les différences

I — a, I — b, offrent tous des modules inférieurs à l'unité. Corollaire I. — Chacun des rapports

offrira certainement un module inférieur à l'unité, si chacun des coefficients offre un module inférieur à -•

Corollaire IL — Comme, par hypothèse, chacun dos coefficients

offre un module inférieur à l'unité, il en résulte que chacune des différences

offre certainement un module inférieur à 2. 11 est aisé d'en conclure que les conditions énoncées dans le théorème IV seront remplies, si les modules des coefficients

sont tous inférieurs, non seulement à -> mais encore à tt« Alors, en

effet, chacun des rapports

offrira un module inférieur à -; d'où il suit que les produits de ces mêmes rapports par les différences

offriront tous des modules inférieurs à l'unité.

Dans un prochain article, je développerai les conséquences importantes qui peuvent se déduire en Analyse, et surtout en Astronomie, des propositions et des formules générales que je viens d'établir.

Analyse mathématique. — Mémoire sur les séries synlagmatiques et sur celles qu'on obtient quand on développe des fonctions d'une seule variable suivant les puissances entières de son argument.