I I I I II II II I

ce qui est exact. Si dans la somme Sx on comprenait seulement celles des valeurs de 0L qui correspondent à des valeurs des nombres a, b, c, ..., supérieures à l'unité, alors, à la place de la formule (7), on obtiendrait la suivante

^ ' ^{i,i...g){i.2..Ji){i.'i...k)...a^b''c'',.. 1.2 1.2.3

dont le second membre se réduit à -> pour des valeurs infinies de n,

e désignant la base des logarithmes népériens. Ainsi, en particulier, si l'on prend n = 5, on trouvera

n ^= 5 = 3 + 2 et

5 2.3 1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4.5 Considérons maintenant plusieurs substitutions

relatives aux n lettres x,y, z, J'appellerai substitutions f/mVc'ei'

toutes celles que l'on pourra déduire des substitutions données, multipliées une ou plusieurs fois les unes par les autres ou par ellesmêmes dans un ordre quelconque, et les substitutions données, jointes aux substitutions dérivées, formeront ce que j'appellerai un système de substitutions conjuguées. \J ordre de ce système sera le nombre total des substitutions qu'il présente, y compris la substitution qui offre

deux termes égaux et se réduit à l'unité. Si l'on désigne par I cet

ordre, et par

les ordres des substitutions données, I sera toujours divisible par

chacun des nombres i, i', i", D'ailleurs I sera toujours un diviseur

du produit

Ajoutons que, étant donné un système de substitutions conjuguées, on reproduira toujours les mêmes substitutions, rangées seulement d'une autre manière, si on les multiplie séparément par l'une quelconque d'entre elles, ou bien encore si l'une quelconque d'entre elles est séparément multipliée par elle-même et par toutes les autres.

Lorsque les substitutions données sont permutables entre elles, l'ordre I du système ne peut surpasser le produit

iVi"...

des ordres des substitutions données.

Lorsque les substitutions données se réduisent à une seule

les substitutions dérivées se confondent avec les puissances de ( . )> et l'ordre I du système avec l'ordre i de la substitution donnée. Supposons maintenant que l'ordre i de la substitution

soit décomposé en facteurs

premiers entre eux. Je prouve que, dans ce cas (*), la substitution

(') Pour établir cette proposition fondamentale, je m'appuie sur un théorème d'arithmétique dont voici l'énoncé : Supposons que, le nombre entier i étant décomposé en facteurs a, b, c, ... premiers

j et ses puissances peuvent être censées former un système de substitutions conjuguées , dérivées des seules substitutions

AJ' UJ' U

Cela posé, admettons que,/?, q,r, ... étant les facteurs premiers de i, on ait

On pourra prendre

(9) a—ps, b — q^\ c — r'',

et alors chacune des substitutions

"aura seulement pour facteurs circulaires des substitutions dont les ordres se réduiront aux puissances d'un seul nombre premier. Cette propriété remarquable des substitutions (10) est très utile dans la théorie des permutations, où les substitutions jouent un rôle analogue à celui que remplissent les racines primitives dans la théorie des équations binaires. Pour cette raison, et supposant que les valeurs de a, b, c, ... sont données par les formules (9), je désignerai les substitutions (10) sous le nom de substitutions primitives, et je les

2iT^^Q\\QY^i facteurs primitifs de la substitution ( ^ j*

Dans un prochain article j'expliquerai comment les principes que

entre eux, on désigne par / un nombre entier quelconque inférieur à i, on pourra toujours satisfaire à l'équivalence

,7^ + f + !-+-... W/ (mod.O \a 0 c I

par des valeurs entières de ^, j, z, . .. respectivement inférieures à «, ^, c,

je viens d'énoncer conduisent à la détermination du nombre des valeurs distinctes que peut acquérir une fonction ù de n variables indépendantes x,y, z, —

Analyse mathématique. — Sur le nombre des valeurs égales ou distinctes que peut acquérir une fonction de n variables, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque (suite).