C. R., T. XXI, p. 668 (22 septembre i

Je me bornerai, pour l'instant, à indiquer, dans cet article, quelquesuns des principaux résultats de mon travail. Les propositions que j'énoncerai ici se trouveront d'ailleurs démontrées et développées dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique.

§ I. — Sur les diverses formes que peut prendre une fonction symétrique ou non symétrique de n variables.

Considérons une fonction i2 de w variables

et supposons que cette fonction reste continue pour chacun des systèmes de valeurs attribuées aux variables dont il s'agit. Prenons d'ailleurs

Lorsqu'on permutera les variables entre elles de toutes les manières possibles, on obtiendra N valeurs diverses de la fonction 12, et deux quelconques de ces valeurs pourront être, ou égales entre elles, quels que soient ^, j, z, .. . , ou généralement inégales et distinctes l'une de l'autre. Si Ton nomme m le nombre des valeurs distinctes de la fonction £2, et il/ le nombre de ses valeurs égales, chacune des valeurs

distinctes pourra prendre i)/ formes diverses, et par suite on aura (2) mM=.N.

En vertu de cette formule, qui était déjà connue, la détermination du nombre des valeurs distinctes d'une fonction se trouve ramenée à la détermination du nombre des valeurs égales, ou, ce qui revient au même, à la détermination du nombre des permutations que l'on peut effectuer sur les variables x, y, z, . . . , sans altérer la fonction Q,. Concevons maintenant que l'on essaye de partager la suite des

variables

en plusieurs autres suites ou groupes, en réunissant deux variables dans un même groupe toutes les fois que l'on peut faire passer l'une à la place de l'autre, à l'aide d'une substitution quelconque, sans altérer la valeur de la fonction 12. Il arrivera de deux choses l'une : ou les divers groupes que l'on essayera de former se réduiront à un seul; ou l'on obtiendra effectivement plusieurs groupes distincts les uns des autres. Dans le premier cas, on pourra, sans altérer la valeur de 12, faire passer toutes les variables à la place occupée dans la fonction par l'une quelconque d'entre elles, et je dirai, pour cette raison, que la fonction est transitive. Au contraire, la fonction sera dite intransitive quand on ne pourra, sans altérer sa valeur, faire passer certaines variables à certaines places. Parmi les fonctions transitives, on doit distinguer la fonction symétrique, dont toutes les valeurs sont égales entre elles, en sorte qu'on a, pour une telle fonction,

Parmi les fonctions intransitives, on doit distinguer celles dont toutes les valeurs sont distinctes ou, en d'autres termes, celles pour lesquelles

on a

chaque groupe étant alors réduit à ne renfermer qu'une seule variable.

Une subslitution, opérée sur les variables comprises dans la fonction ù, peut, ou déplacer toutes les variables, ou déplacer seulement plusieurs d'entre elles, en laissant les autres immobiles.

Cela posé, considérons d'abord une fonction transitive de plusieurs

variables

Soient toujours ù cette fonction et M le nombre de ses valeurs égales, dans le cas où toutes les variables restent mobiles. Comme une variable quelconque pourra occuper la première place, si l'on nomme UïL le nombre des valeurs égales que peut acquérir la fonction, quand une variable reste immobile, ou, ce qui revient au même, quand on considère ù comme une fonction de /^ — i variables, on aura

(3) i1/=rtDlL.

D'ailleurs le nombre des valeurs distinctes de ù considéré : i° comme une fonction de n variables

X, y, Zy • • . ;

2° comme une fonction de « — i variables

sera, dans le premier cas, en vertu des formules (2) et (3),

et, dans le second cas,

Donc ces deux nombres seront égaux, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Soit Q. une fonction transitive de n variables

•^, j', ^f • • •, et désignons par m le nombre des valeurs distinctes de cette fonction, dans

le cas où toutes les vaiiables restent mobiles, m sera en même temps le nombre des valeurs distinctes de Çl, dans le cas où une variable x deviendra immobile, et par conséquent le nombre des valeurs distinctes de Çl considéré comme fonction des seules variables y, z, . . . .

Exemple. — Supposons

« zz: 3 et Q, =1 x^ y"^ z + y^ z^ X -^ z^ x"^ y .

En considérant i2 comme fonction des trois variables

on reconnaîtra que les seules substitutions qui n'altèrent pas cette fonction sont les deux substitutions circulaires

dont l'une est le carré de l'autre. On aura donc, dans le cas présent,

J/=3, et par suite, m = — ^ — = 2.

Si maintenant on suppose que x devienne immobile, il ne sera plus possible d'échanger entre euxy et z. Donc, si l'on considère ù comme fonction des seules variables 7, s, le nombre 01^ des valeurs égales de cette fonction sera l'unité, et le nombre de ses valeurs distinctes,

représenté par le rapport ^5 sera encore égal à 2.

Supposons maintenant que £1 soit une fonction intransitive. Alors

la suite des n variables

se partagera en plusieurs autres suites ou groupes

?, X» ^» •••' que l'on formera aisément en s'astreignant à la seule condition de

EXTRAIT N» 30t. 297

réunir toujours, dans un même groupe, deux variables dont l'une pourra prendre la place de l'autre en vertu d'une substitution quelconque. Soient

a le nombre des variables a, ê, y» ••• comprises dans le premier

groupe ; h le nombre des variables \, p., v, ... comprises dans le second

groupe; c le nombre des variables cp, /^, ^, ... comprises dans le troisième

groupe;

On aura évidemment (5)

Lorsqu'on a, comme on vient de le dire, partagé en plusieurs groupes le système des n variables comprises dans une fonction intransitive il, toute substitution qui n'altère pas la valeur de il se borne à déplacer des variables dans un seul groupe, ou dans plusieurs groupes simultanément. Or il arrive souvent que les déplacements divers, simultanément opérés dans les divers groupes, en vertu d'une substitution qui n'altère pas la valeur de 12, peuvent aussi s'effectuer séparément et indépendamment les uns des autres, sans que la fonction Çl soit altérée. Lorsque cette condition sera remplie, nous dirons que les divers groupes sont indépendants les uns des autres. C'est ce qui aura lieu, par exemple, si l'on prend

/« rr: 0

Alors les deux groupes

et i2 r= x^y H- xf^ -+- zuv.

que l'on pourra former avec les cinq variables x, y, z, u, c, seront indépendants l'un de l'autre, attendu que toute substitution qui, sans altérer la valeur de ù, déplacera les variables, produira, dans chaque

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groupe, des déplacements qui pourront s'effectuer isolément, sans que la valeur de 12 soit altérée.

Au contraire, les groupes formés avec les variables ne seraient plus indépendants les uns des autres, si l'on prenait n =- 4,

Alors, en effet, les deux groupes formés avec les quatre variables x, y, z, u seraient

et la seule substitution qui, sans altérer la valeur de O, déplacerait les variables, serait celle qui consiste à échanger simultanément x avec z, ety avec u. La valeur de 12 serait évidemment altérée, si l'on se bornait à échanger entre elles les deux variables x et z.

La détermination du nombre des valeurs égales et du nombre des valeurs distinctes d'une fonction intransitive 12 qui renferme n variables X, y, z, ... peut être ramenée à la détermination de ces deux nombres, pour des fonctions qui renferment moins de n lettres, ainsi que nous allons l'expliquer.

Soient toujours

les divers groupes formés avec les n variables x, y, z, ..., chaque groupe étant composé de variables dont l'une peut prendre la place de l'autre, sans que la valeur de 12 soit altérée, et supposons d'abord ces divers groupes indépendants les uns des autres. Soit, dans cette hypothèse, A le nombre des valeurs égales que peut acquérir 12 quand on se borne à déplacer les variables a, Ç, y, ... que renferme le premier groupe, en considérant ces variables comme seules mobiles ou, ce qui revient au même, le nombre des valeurs égales de 12 considéré comme fonction des seules variables a, 6^, y, Soit pareillement

li le nombre des valeurs égales de H considéré comme fonction des

seules variables \, a, v, Soit encore C le nombre des valeurs

égales de 12 considéré comme fonction des seules variables cp, y, '\i, . . . et ainsi de suite. Le nombre total M des valeurs égales de (2, considéré comme fonction des seules variables x, y, z, . . . , sera déterminé par la formule