AI = ABC

D'ailleurs, si l'on désigne toujours par a, ou par b, ou par c, ... le nombre des variables comprises dans le premier, dans le deuxième, dans le troisième, . . . groupe, les facteurs

seront respectivement des diviseurs des produits

et, si ro4i pose, pour abréger,

(7) ji.= — -^ — , M\,= —y- — , e= — ~ — ,

oA. représentera le nombre des valeurs distinctes de ù considéré comme fonction des seules variables a, ê, y, ... comprises dans le premier groupe; m\, le nombre des valeurs distinctes de ù considéré comme fonction des seules variables X, [x, v, . . . comprises dans le deuxième groupe; G le nombre des valeurs distinctes de ù considéré comme fonction des seules variables !p, y, '^p, ... comprises dans le troisième groupe, etc. Ajoutons que, si l'on pose, pour abréger,

(i .2. . .a) {i .2.b. . .) {i .2 . . .c) . . . c'est-à-dire, si l'on désigne par JZ, le coefficient du produit

dans le développement du polynôme

on tirera des formules (2), (6), (7), ... (9) m = 0î,JloUija,

Considérons maintenant le cas où les divers groupes formés avec les variables oc, y, z, ... ne sont plus indépendants les uns des autres. Je suis parvenu à démontrer que, dans ce cas encore, les nombres M et m, c'est-à-dire le nombre des valeurs égales et le nombre des valeurs distinctes de la fonction il, pourront être déterminés à l'aide des formules (6) et (9), si l'on attribue aux facteurs A, B, C, ... ow X, Dl), G, . . . les valeurs que je vais indiquer. On devra, dans le cas dont il s'agit, représenter par A le nombre des valeurs égales que pourra obtenir O, en vertu de substitutions correspondantes à des permutations diverses des variables a, ê, y, ... comprises dans le premier groupe; par B le nombre des valeurs égales que pourra obtenir il, en vertu de substitutions qui, sans déplacer a, Ç, y, . . . , correspondront à des permutations diverses des variables X, (j., V, ... comprises dans le second groupe; par C le nombre des valeurs égales que pourra obtenir O, en vertu de substitutions qui, sans déplacer ni a, ê, y, . . . , ni X, [x, v, . . . , produiront des permutations diverses des variables cp, y, «]>,... comprises dans le troisième groupe. Il pourra d'ailleurs arriver que des permutations diverses des variables comprises dans l'un des groupes entraînent des permutations correspondantes des variables comprises dans les groupes suivants, en sorte qu'on soit obligé, pour ne pas altérer la valeur de ù, d'effectuer simultanément ces permutations correspondantes. Il y a plus : la correspondance dont il s'agit ici devra certainement avoir lieu, au moins pour quelques permutations, dans l'hypothèse admise que les divers groupes ne sont pas tous indépendants les uns des autres. Quant aux facteurs A-, \^, e, ..., ils devront toujours être déterminés à l'aide des formules (7); et l'on peut démontrer qu'alors chacun d'eux sera

encore propre à représenter le nombre des valeurs distinctes d'une certaine fonction des variables a, ê, y, . . . , ou X, [x, v, . . . , ou 9, y, vp, . . . comprises dans le premier, ou dans le second, ou dans le troisième, . . . groupe.

Pour faire mieux comprendre ce qui précède, appliquons la formule (9) à quelques exemples.

Exemple 1. — Supposons n = 5,

Alors les seules substitutions qui n'altéreront pas la valeur de ù seront les deux substitutions circulaires

et les dérivées de ces deux substitutions. Alors aussi, en vertu de ces deux substitutions et de leurs dérivées, on pourra faire passer à la place l'une de l'autre ou les variables x, y, z-, ou les variables u, v, sans que jamais une variable de l'un des groupes

se trouve substituée à une variable de l'autre groupe. D'ailleurs toute substitution qui aura la propriété de ne pas altérer la valeur de 12, par exemple la suivante

{x,y,z){u,ç), sera toujours le produit de deux substitutions

dont chacune jouira séparément de cette propriété, et sera relative aux variables comprises dans un seul groupe. Donc les deux groupes seront indépendants l'un de l'autre. Ajoutons que, le premier groupe étant composé de trois variables, le second de deux, on aura, dans le cas présent,

D'autre part O, considéré comme fonction des seules variables x, y, z, offrira trois valeurs égales et deux valeurs distinctes; on aura donc

Au contraire, en considérant ù comme fonction de m, t^, on trouvera Enfin, le coefficient N du produit dans le développement du binôme sera le nombre lo. On aura donc

3(L = lo, et par conséquent les formules (6), (9) donneront

Exemple //. — Si l'on pose n = 6,

Alors, avec les six lettres x, y, z, u, v, w, on pourra former deux groupes

Mais ces deux groupes ne seront pas indépendants l'un de l'autre. Alors aussi on trouvera

a =r 2, yl = 2, eJU = I,

^, r= 4, ^ = 4, Itl- =: 6,

Il importe d'observer que, dans le cas auquel se rapporte la formule (9), c'est-à-dire dans le cas où la fonction 12 est intransitive, chacun des nombres a, h, c, ... est inférieur à /^, et qu'en conséquence la valeur de x déterminée par la formule (8) est, ou égale, ou supérieure à n. On aura, en particulier, x = «, si les groupes formés comme il a été dit ci-dessus se réduisent à deux, le premier étant composé de « — i variables, l'autre de n variables seulement. Alors on trouvera

a =: n — I , bz=zi, iJÎ) = I , ^z=z n,

et la formule (9) donnera

(10) mz=znAo.

Dans tout autre cas, x surpassera n, et il en sera de même, à plus forte raison, du nombre m, qui, en vertu de la formule (9), sera toujours un multiple de x.

En terminant ce paragraphe, nous ajouterons, aux remarques déjà faites, une observation qui n'est pas sans importance, c'est que le nombre des valeurs égales d' une fonction quelconque de n variables est toujours évidemment l'ordre d'un certain système de substitutions conjuguées.

§ II. — Sur diverses propriétés des fonctions transitives. Soit Q une fonction transitive de n variables

On pourra, sans altérer cette fonction, faire passer une variable quelconque à la place de x. Mais, x devenant immobile, £2, considéré comme fonction de /z — i variables seulement, pourra cesser d'être une fonction transitive. Cela posé, il importe de remarquer une propriété singulière de certaines fonctions transitives. Elle est exprimée par un théorème, que je suis parvenu à établir, et qui peut s'énoncer comme il suit.

Théorème. — Supposons que Ci soit tout à la fois une fonction transitive des n variables

et une fonction intransitive de n — i variables

Supposons encore que ces dernières variables se partagent en groupes indépendants les uns des autres, quand on réunit deux variables dans un même groupe, toutes les fois que l'on peut faire passer l'une à la place de l'autre, sans altérer £l, à l'aide d'une substitution qui laisse immobile la variable X. Alors, x redevenant mobile, on pourra partager la suite des

n variables

en plusieurs autres suites ou groupes

ces groupes étant tellement composés, que toute substitution qui n'altérera pas la valeur de O aura pour effet unique ou de déplacer des variables dans chaque groupe, ou d'échanger les groupes entre eux, et ces groupes étant ordinairement indépendants les uns des autres, en sorte que des déplacements simultanément effectués dans les divers groupes, en vertu d'une substitution qui n altérera pas la valeur de ù, pourront aussi s'effectuer séparément, sans altération de cette même i^aleur.

Lorsqu'une fonction transitive ù remplit les conditions énoncées dans ce théorème, les divers groupes

formés avec les n variables

renferment tous le même nombre a de variables et, par conséquent, ce nombre a est un diviseur de n. Gela posé, soit

Nommons A le nombre des valeurs égales que peut acquérir O, en vertu de substitutions dont chacune se borne à déplacer les variables comprises dans un seul groupe, et ATle nombre des valeurs égales que 12 peut acquérir, quand on se borne à échanger les groupes entre eux. Le nombre total M des valeurs égales de (2 sera évidemment déterminé par la formule

(i) M—KA'^.

D'ailleurs le nombre m des valeurs distinctes de 12 se trouvera toujours lié au nombre M par l'équation

(2) mM^Ny la valeur de iV étant

(3) yV = i.2.3...n.

Soient maintenant

se et JU

deux nombres liés à /Tet ^ par les formules

(4) .^=iiiv^, ^^^-^

X sera le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de a variables; DC sera pareillement le nombre des valeurs distinctes d'une certaine fonction de k variables; et, en posant, pour abréger,

(5) Xr I.2.3...«

Or.m;es r/r r. - S. I, t. IX. .89

on tirera des formules (i), (2), (3), (4) (6) m = ^aCJU^-.

En vertu de la formule (6), m sera certainement un multiple du nombre entier représenté par x.

Dans un prochain article, j'indiquerai les conséquences importantes qui se déduisent de la formule (6) et des principes établis dans le 5 I.

Analyse mathématique. — Sur le nombre des valeurs égales ou distinctes que peut acquérir une fonction de n nariables, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque.