C. R., T. XXI, p. 727 (29 septembre

Nous allons, dans cet article, indiquer brièvement les moyens d'établir diverses propositions dignes de remarque, et relatives au nombre des valeurs égales ou distinctes qu'une fonction peut acquérir.

§ I. — Théorèmes relatifs aux fonctions symétriques.

On sait que l'on nomme fonction symétrique de plusieurs variables une fonction dont la valeur ne varie pas quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque.

De plus, en vertu des définitions adoptées dans le précédent article, une fonction ùAq n variables

est transitive, lorsqu'on peut, sans altérer la valeur de O, faire passer toutes les variables à la place occupée par l'une quelconque d'entre elles. Elle est intransitive dans le cas contraire.

D'ailleurs, il a été prouvé que le nombre m des valeurs distinctes

d'une fonction transitive ù de n variables x, y, z, ... est en même temps le nombre des valeurs distinctes de ù considéré comme fonction de n-i variables seulement. Lorsque le nombre m se réduit à l'unité, la fonction transitive ù devient nécessairement symétrique. Cela posé, il est facile d'établir les propositions suivantes :

Théorème 1. — Soit 12 une fonction de n variables

Supposons d'ailleurs cette fonction symétrique par rapport à certaines

variables

dont le nombre a vérifie la condition

Enfin, supposons que, parmi les variables restantes

dont le nombre b vérifie évidemment les conditions

une ou plusieurs, que /appellerai p, ;, . . . , puissent passer à la place occupée par l'une des variables ol, ^,^, ..., en vertu d'une substitution qui n altère pas la valeur de £1. Alors £2 sera nécessairement fonction symétrique des variables

Cf., 6, y, ..., p, ç,

Démonstration. — En faisant subir aux variables

un déplacement quelconque, on déduira toujours de 12 une fonction qui sera symétrique, ou par rapport aux variables

ou par rapport à celles qui occuperont leurs places. En d'autres termes, après un déplacement quelconque des n variables x, y, z, . . . , il existera toujours un groupe composé de a variables dont 12 sera fonction symétrique; et, puisque a, par hypothèse, surpasse -? ce groupe devra toujours renfermer au moins une des variables a, ê, y, . . . qui le composaient primitivement. Cela posé, concevons que, sans altérer 12, on puisse faire entrer p dans ce groupe, en le faisant passer à la place primitivement occupée par l'une des variables a, ê,

y, Alors p se trouvera renfermé dans le groupe dont il s'agit, avec

l'une au moins de ces variables, avec a par exemple. Donc 12 sera fonction symétrique de p et de a; en sorte que, sans altérer 12, on pourra échanger entre elles ces deux variables. D'ailleurs, cette propriété dont jouiront les variables p et a tiendra évidemment, non pas à la forme des lettres qui représentent ces variables, mais à la place qu'elles occupaient dans la fonction 12 et à la nature de cette fonction. Enfin, il est clair qu'avant de faire entrer p dans le groupe primitivement composé des variables a, ê, y, ... dont 12 était fonction symétrique, on pouvait permuter ces variables d'une manière quelconque, et, par conséquent, faire passer à la place de a l'une quelconque d'entre elles. Donc, dans l'hypothèse admise, on peut, sans altérer 12, échanger p, non seulement avec a, mais encore avec l'une quelconque des variables

et, par suite, 12 est une fonction symétrique, non seulement des a variables

mais encore des a 4- i variables

oc, ê, y, ..., p.

On prouvera de même que, si la variable ç peut entrer aussi dans le groupe primitivement formé par les a variables

et, par conséquent, dans le groupe primitivement formé par les

a -t- 1 variables

Q, sera fonction symétrique des a + 2 variables

et, en continuant de la sorte, on obtiendra définitivement la proposition énoncée.

Corollaire. — Le théorème I entraîne évidemment la proposition suivante :

Théorème II. — Si une fonction transitive Q de n variables œ, y, z, ... est en même temps symétrique par rapport à plusieurs de ces variables, savoir, par rapport aux variables

et si d'ailleurs le nombre a de ces dernières variables surpasse -? alors Ci sera nécessairement fonction symétrique des n variables x, y, z, ....

Corollaire!. — Si, /2 étant supérieur à 2, une fonction transitive Q de n variables x, y, z, ... est en même temps fonction symétrique do n — i variables y, z, . . . , elle sera nécessairement fonction symétrique de toutes les variables x,y, z,

Corollaire IL — Si, n étant supérieur à 3, une fonction transitive Q de n variables x, y, z, u, . . . est en même temps fonction symétrique de /i — 2 variables z, u, . . ., elle sera nécessairement fonction symétrique de toutes les variables, à moins que l'on n'ait /z = 4- Si /z se réduisait effectivement au nombre 4» alors, en posant, par exemple,

Çlz=i xy -f- zu,

on obtiendrait pour (2 une fonction transitive de quatre variables, qui serait symétrique par rapport à deux variables ic et y ou 5 et w, sans être symétrique par rapport aux quatre variables x^ y, z, u.

Corollaire IIl. — Si, n étant supérieur à 4» une fonction transitive ù de n variables œ, y, z, u, v, . . . est en même temps fonction symétrique de n — 3 variables u, v, . . . , elle sera nécessairement fonction symétrique de toutes les variables, à moins que l'on n'ait /i — 5 ou /i = 6. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer qu'on ne doit pas même exclure le cas où l'on aurait n --= 5, et qu'une fonction transitive de cinq variables ne peut être symétrique par rapport à deux d'entre elles sans être symétrique par rapport à toutes ces variables.

Corollaire IV. — Si, n étant supérieur à 5, une fonction transitive ù de n variables œ, y, z, u, ç, w, . . . est en même temps fonction symétrique de /z — 4 variables v, w, . . . , elle sera nécessairement fonction symétrique de toutes les variables, à moins que l'on n'ait n = 6, n = 7, ou /z — 8. D'ailleurs on reconnaîtra encore facilement que le cas où l'on aurait /i r- 7 ne doit pas être excepté.

Corollaire V. — Les propositions énoncées dans les corollaires III et IV ne subsistent plus quand on a /« = 6 ou /i — 8; et, si l'on pose en particulier n = 6, alors, en prenant, par exemple,

12 =. xy -\- zu -\- vw

OU

Çl -=L xyz -\- iivw,

on obtiendra une fonction transitive qui sera symétrique par rapport à deux ou trois variables sans être symétrique par rapport à toutes, et qui offrira, en effet, dans le premier cas, quinze valeurs distinctes; dans le second cas, dix valeurs distinctes seulement.

§ IL — Formules et propositions diverses qui se rapportent aux fonctions transitives.

Il arrive souvent que les n variables

■^) y^ ^f • • • > renfermées dans une fonction transitive 12, peuvent être partagées en

divers groupes

a, 6, y, ..., l, IX, y, ..., 9, X» 4^> ■••■>

tellement composés que toute substitution qui n'altère pas la valeur (le ù ait pour effet unique, ou de déplacer des variables dans chaque groupe, ou d'échanger les groupes entre eux, sans altérer leur composition. Nous dirons alors que la fonction (2 est une fonction transitive complexe. Pour une telle fonction, les divers groupes formés avec les variables renferment tous le même nombre a de lettres, et par suite, si l'on nomme k le nombre des groupes, on a

(i) ka=^ n.

On doit en conclure que chacun des nombres k et a est un diviseur de n. Si, d'ailleurs, on nomme K\e nombre des valeurs égales que peut acquérir une fonction transitive complexe Cl quand on se borne à échanger entre eux les divers groupes formés avec les variables, et L le nombre des valeurs égales que la même fonction peut acquérir quand on se borne à déplacer des variables dans un ou plusieurs groupes, sans déplacer les groupes eux-mêmes; le nombre total M des valeurs égales de Q sera évidemment déterminé par l'équation

(2) Af:=:zKL.

Soit maintenant m le nombre des valeurs distinctes de la fonction transitive complexe û, et posons

(3) TV .-^1.2. 3... n,

on aura

D'autre part, on prouvera facilement que les nombres

sont respectivement diviseurs des produits

et, en posant, pour abréger,

T .i...k {i.'i...aY (0) cH— — — — , 4^ ,

(i .2. . . A) (i .2. . .aY on tirera des formules (2) et (4)

(7) m — ^diJ^.

Si les divers groupes formés avec les variables x, y, z, ... sont indépendants les uns des autres, c'est-à-dire, en d'autres termes, si des déplacements simultanément effectués dans les divers groupes, en vertu d'une substitution qui n'altère pas la valeur de £}, peuvent aussi s'effectuer séparément sans altération de cette valeur, alors la valeur de L sera de la forme

A désignant le nombre des valeurs égales que pourra obtenir la fonction (1, en vertu des substitutions qui se borneront à déplacer des variables dans un seul groupe. Alors aussi, en posant, pour abréger,

on aura

et des formules (2), (7), jointes aux équations (8), (10), on déduira

immédiatement la formule (i) de la page 3o5 et la formule (6) de la page 3o6, savoir,