M—KA

Pour montrer une application fort simple des formules (2) et (7), supposons n =z 6,

^ = xy^ z^ u v"^ w^ -\~ y z^ x^ V w'^ lâ -v- zx^y^iv ii^v^.

Alors ù sera une fonction transitive complexe des six variables x, y, z, u, ç, w, avec lesquelles on pourra former deux groupes

qui ne seront pas indépendants l'un de l'autre. On aura, par suite, On trouvera, d'ailleurs,

et l'onen conclura

Pour montrer une application des formules (i i) et (12), supposons

/ï = 4, et

Q,z=xy-\-zu.

Alors Q, sera une fonction transitive complexe des quatre variables x,y, z, u, avec lesquelles on pourra former deux groupes

qui seront indépendants l'un de l'autre. On aura, par suite,

ar=.2, k r=:2.

On trouvera d'ailleurs

'^-(I.2)(l.2r-^' OEuvres de C. — S. I, t. IX. 4o

et l'on en conclura

On peut encore établir à l'égard des fonctions transitives diverses propositions dignes de remarque, et en particulier les suivantes :

Théorème I . — Supposons que Ci soit tout à la fois une fonction transitive de n variables

et une fonction intransitive de n — i variables

Supposons d'ailleurs indépendants les uns des autres les divers groupes que l'on obtient quand, x demeurant immobile, on réunit toujours dans un même groupe deux variables dont l'une peut passer à la place de l'autre, sans que la valeur de ù soit altérée. Enfin soit a le nombre des xmriables comprises dans le groupe ou dans les groupes qui en renferment le plus, et supposons que l'un des groupes de a lettres se compose des

variables

Lorsqu'on voudra rendre immobile, non plus la variable x, mais une quelconque des variables situées hors du groupe ol, S, y, . . , , le même groupe se reproduira toujours.

Démonstration. — En effet, le groupe a, ê, y, • • • étant l'un de ceux que l'on forme quand on suppose x immobile, et étant, dans cette hypothèse, indépendant de tous les autres, on pourra, sans altérer la valeur de la fonction Ù, faire passer une quelconque des variables de ce groupe à la place d'une autre, par exemple S à la place de a, en opérant des substitutions qui ne renfermeront aucune des variables situées hors du groupe, et, par conséquent, en laissant immobile chacune de ces dernières variables. Donc deux variables choisies arbitrairement dans le groupe a, ê, y, ... se trouveront réunies encore dans l'un des groupes que Ton formera en laissant immobile une

variable quelconque t située hors de ce groupe. Mais, la fonction U étant supposée transitive, t pourra prendre la place de x\ par suite, les groupes que l'on formera en laissant/ immobile seront semblables aux groupes que l'on formera en laissant x immobile; et, dans les deux cas, les groupes correspondants offriront nécessairement les mêmes nombres de lettres. Donc, puisque a est le nombre maximum des lettres dans les groupes formés quand x est immobile, a sera aussi le nombre maximum des lettres comprises dans les groupes que l'on formera, en laissant t immobile ; et, puisqu'alors un des groupes renfermera les a lettres a, ê, y, . . . , il n'en renfermera pas d'autres. Donc le groupe a, ê, y, ... se reproduira toujours dans le cas où on laissera immobile l'une quelconque des variables situées hors de ce groupe.

Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I,

soient

ce, ê, y, ...

et

deux groupes de n lettres, correspondants, le premier, au cas où l'on suppose immobile une certaine variable x, le second , au cas où l'on suppose immobile une autre variable y. Si le nombre a vérifie la condition

(i3) la < n,

c est-à-dire si le nombre a est inférieur à -> alors les deux groupes dont ii

s'agit n'offriront nas de lettres communes, quand ils seront distincts Vun de l'autre.

Démonstration. — En effet, la condition (i3) étant supposée remplie, il existera, parmi les n variables

au moins une variable t située en dehors des deux groupes

dont chacun renferme a lettres. Donc, chacun de ces deux groupes se reproduira quand on laissera t immobile (théorème I); et, par suite, si ces deux groupes sont distincts l'un de l'autre, ils n'offriront pas de lettres communes.

Corollaire. — La fonction i2 étant supposée transitive, une variable quelconque t pourra passer à la place de a, sans que la valeur de 12 soit altérée; donc, une variable quelconque t fera nécessairement partie d'un groupe semblable au groupe a, ê, y, ... et composé pareillement de a lettres. Donc, les mêmes choses étant posées que dans les théorèmes I et II, si l'on réunit toujours dans un même groupe deux variables dont l'une peut prendre la place de l'autre, en vertu d'une substitution qui, sans altérer la valeur de £2, déplace moins de n lettres, les divers groupes que l'on formera renfermeront chacun a variables, et deux quelconques de ces groupes n'offriront pas de lettres communes. Or, comme cette faculté qu'on aura de pouvoir

séparer les variables

en groupes distincts et composés chacun de a variables tiendra évidemment, non pas à la forme des lettres qui représentent les variables, mais aux places qu'elles occupent dans la fonction 12, et à la nature de cette fonction, il est clair que, après une substitution quelconque, les mêmes groupes devront se reproduire, quel que soit le nombre des lettres déplacées. Donc, une substitution quelconque aura toujours pour effet unique, ou de déplacer des lettres dans chaque groupe, ou d'échanger les groupes entre eux, en laissant invariable la composition de chaque groupe. Enfin, les groupes devront être nécessairement déplacés par toute substitution qui fera passer à la place l'une de l'autre deux variables comprises dans deux groupes différents composés chacun de a lettres. Donc, dans l'hypothèse admise, la fonction Î2 sera du nombre de celles que nous appellerons fonctions transitives complexes, si le nombre a surpasse l'unité; et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème III. — Supposons que Çl soit tout à la fois une fonction transitive de n variables

•^) JK) ^> • • •

et une fonction intransitive de n — \ variables

Supposons d'ailleurs indépendants les uns des autres les divers groupes qu'on obtient quand, x demeurant immobile, on réunit toujours dans un même groupe deux variables dont l'une peut passer à la place de l'autre sans que la valeur de ù soit altérée. Enfin, soit a le nombre des variables comprises dans le groupe ou dans les groupes qui en renferment le plus. Si le nombre a est inférieur à -, mais supérieur à l'unité, il sera une fonction transitive complexe des n variables

qui pourront être partagées en groupes composés chacun de a lettres tellement choisies, que toute substitution qui n'altérera pas la valeur de Çl aura pour effet unique, ou de déplacer des variables dans chacun de ces groupes, ou d'échanger ces groupes entre eux.

Exemple. — Pour obtenir une fonction (2 de n variables, sur laquelle se vérifie le théorème qu'on vient d'énoncer, il suffît de prendre /i — 6 et

Alors, X demeurant immobile, 12 est une fonction intransitive des cinq variables

qui se partagent en trois groupes, indépendants et non permutables entre eux, dont chacun renferme une ou deux variables, ces trois groupes étant

Mais, quand £r redevient mobile, ù est évidemment une fonction transitive complexe des six variables

qui se partagent en trois groupes indépendants et permutables entre eux, dont chacun renferme deux variables, ces trois groupes étant

Corollaire I. — Le théorème précédent peut être étendu au cas même où l'on aurait a = -• En effet, soient, dans ce cas,

a, ê, y, ..., 1, II, V, ...

deux groupes, composés chacun de a lettres, dont on obtient le premier en laissant immobile la variable x, le second en laissant immobile une autre variable y. S'ils offrent une ou plusieurs lettres communes, il existera au moins une variable / située au dehors de chacun d'eux, et par suite ils ne pourront être distincts l'un de l'autre (^voirie, théorème I). Donc, s'ils sont distincts, ils renfermeront chacun la moitié des variables x, y, z, ... , comprises dans la fonction 12, et cette fonction sera une fonction transitive complexe des variables x, y, z, ..., qui pourront être partagées en deux groupes composés chacun de a variables.

Corollaire IL — Supposons maintenant que le nombre a soit supérieur à -) et posons 2 ^

Alors on aura

et, parmi les groupes que l'on formera en laissant immobile une

variable ;r, un seul sera composé de a lettres

Nommons

les lettres qui resteront en dehors de ce groupe et qui seront en nombre égal à h. Chacune d'elles jouira de cette propriété remarquable que, si on la rend immobile, le groupe a, ê, y, ... se reproduira toujours. Il y a plus : le groupe a, ê, y, ... cessera évidemment de se reproduire si l'on rend immobile une des variables comprises dans ce groupe; et par suite les h variables

formeront un nouveau système ou groupe de variables qui jouiront, exclusivement à toutes autres, de la propriété dont il s'agit. Mais la fonction Q étant, par hypothèse, une fonction transitive, un autre groupe de b variables

jouira encore de la même propriété relativement à un autre groupe de a variables

et, non seulement le groupe

devra être distinct du groupe

mais, de plus, ces deux groupes n'offriront pas de lettres communes. En continuant ainsi, on verra, dans l'hypothèse admise, les n variables

se partager en divers groupes, composés chacun de b variables telle-

ment choisies, que deux quelconques de ces groupes n'offriront pas de lettres communes. D'ailleurs, il est clair que, après une quelconque des substitutions qui n'altèrent pas la valeur de ù, ces mêmes groupes devront toujours se reproduire, et l'on doit en conclure que ù sera une fonction transitive complexe. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème IV. — Supposons que Q soit tout à la fois une fonction transitive de n variables

et une fonction intransitive de n — i iiaiiahles

Supposons, d'ailleurs, indépendants les uns des autres les divers groupes qu'on obtient quand, x demeurant immobile, on réunit toujours dans un même groupe deux variables dont l'une peut passer à la place de Vautre, sans que la valeur de £1 soit altérée. Enfin, soit a le nombre des variables comprises dans le groupe qui en renferme le plus, et posons

hr=in — a.

Si le nombre a est supérieur « -> (2 sera une fonction transitive complexe des n variables

qui pourront être partagées en groupes composés chacun de b lettres tellement choisies, que toute substitution qui n'altérera pas la valeur de û aura pour effet unique, ou de déplacer des variables dans chacun de ces groupes, ou d'échanger ces groupes entre eux.

Exemple. — Pour obtenir une fonction O de /i variables, sur laquelle se vérifie le théorème qu'on vient d'énoncer, il suffit de

prendre /z = 6 et

^ = xy -+- zu -f- vw.

Alors, X demeurant immobile, li est une fonction intransitive des

cinq variables

qui se partagent en deux groupes indépendants et non permutables entre eux, composés, le premier, d'une seule variable j, le second, de quatre variables z, u, v, w. Mais, quand x redevient mobile, ù est une fonction transitive complexe des six variables

qui se partagent en trois groupes indépendants et permutables entre eux, savoir :

z. II,

Des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usaa:e pour établir le théorème III suffiraient encore évidemment pour démontrer la proposition suivante :

Théorème V. — Soient ù une fonction transitive des n variables

•^> y 9 Zy • • • f

et l un des nombres entiers inférieurs à n. Supposons d'ailleurs que, dans le cas où une variable x demeure immobile, les variables restantes

se partagent en plusieurs groupes indépendants les uns des autres, quand on réunit dans un même groupe deux variables dont l'une peut passer à la place de l'autre, en vertu d'une substitution qui n'altère pas la valeur de ù, et qui déplace l variables au plus. Enfin, soit a le nombre des variables comprises dans le groupe ou dans les groupes les plus considérables. Si le nombre a est inférieur à-,ù sera une fonction transitive complexe des variables

et ces variables se partageront en groupes distincts composés chacun de

OFMiTes de C. ~ S.l,t.lX. 4l

a lettres tellement choisies, que toute substitution qui n'altérera pas la valeur de Çl aura pour effet unique, ou de déplacer des variables dans chaque groupe, ou d'échanger les groupes entre eux.

Pour qu'une fonction 12 de n variables

soit effectivement une fonction transitive complexe, il est nécessaire que les groupes formés avec les diverses variables, de manière à remplir les conditions que nous venons de rappeler, renferment chacun plusieurs variables; en d'autres termes, il est nécessaire que le nombre a des variables comprises dans chaque groupe surpasse l'unité.

Si le nombre a se réduisait à l'unité, cela signifierait que, la variable n devenant immobile, toutes les autres variables y, z, ... le deviennent également. Alors on pourrait affirmer : i° que la fonction transitive, représentée par O dans le théorème III, offre précisément n valeurs égales; 2° que toute substitution qui n'altère pas la valeur de ù est, ou une substitution circulaire de l'ordre n, ou le produit de k substitutions circulaires de l'ordre j, le nombre k étant un diviseur de n.

Au reste, je reviendrai sur ce sujet dans un autre article, où j'indiquerai la forme générale des substitutions qui laissent intacte la valeur de £1, en déplaçant le moins de variables qu'il est possible, et où je montrerai que, si l'on multiplie l'une par l'autre deux substitutions quelconques, l'ordre de la substitution nouvelle ainsi obtenue ne sera jamais altéré quand on échangera entre eux les deux facteurs.

Analyse mathématique. — Sur le nombre des valeurs égales ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque.