C. R., T. XXI, p. 779 (6 octobre i

§ I. — Recherches nouvelles sur les substitutions. Soit £2 une fonction donnée de n variables

et désignons par de simples lettres P, Q, R, ... des substitutions relatives à ces mêmes variables. Si l'on nomme a l'ordre de la substitution P, a sera la plus petite des valeurs entières de / pour lesquelles se vérifiera la formule

De plus, / et ^ étant des nombres entiers quelconques, on aura généralement

(2) pA:a4-/p/^

Pour assigner une signification précise à la notation P~', il suffît d'étendre, par analogie, l'équation (2) au cas même où / devient négatif. Alors on trouve

(3) ■ p-/— pAa-/

et, en particulier,

(4) P-»=pa-l.

Si, pour fixer les idées, on suppose a == 6 et

^ = {oc,y,z){u,v), on aura

D'ailleurs, si la substitution P fait passer une certaine variable y à la place d'une autre variable œ, il est clair que, réciproquement, ce viendra remplacer j en vertu de la substitution

pa— 1- p— 1^

Nous dirons, pour cette raison, que la substitution P-' est Vinverse de la substitution P, Dans le cas particulier où l'on a

on a aussi

puisqu'une substitution circulaire du second ordre a pour effet unique de remplacer l'une par l'autre deux variables données. Dans le cas général, les facteurs circulaires dans lesquels pourra se décomposer la substitution P~' seront évidemment inverses des facteurs circulaires dans lesquels se décomposera la substitution P.

Ajoutons que l'inverse de la substitution P'est évidemment P"'.

Soient maintenant

deux substitutions différentes, la première de Tordre a, la seconde de l'ordre b, et posons

R rz: PQ, S = QP.

On en conclura

R2=PQPQ, S2=QPQP,

etc. ; puis on tirera de ces diverses équations