C. R., T. XX, p. 463 (24 février i

Il arrive souvent que les termes d'une série double et divergente peuvent être groupés entre eux de telle sorte que les termes renfermés dans chaque groupe forment une série simple convergente, et que les sommes des séries simples correspondantes aux divers groupes forment à leur tour une autre série simple convergente comme les premières. Les séries triples, quadruples, . . . , lorsqu'elles sont divergentes, peuvent fournir matière à de semblables observations. Ainsi, une série multiple et divergente pourra quelquefois se transformer en un système de séries simples et convergentes de divers ordres, c'està-dire en un système dans lequel plusieurs séries de même ordre formeront, par leur réunion, une série de l'ordre immédiatement supérieur. La série simple de l'ordre le plus élevé donne alors pour somme la somme totale des termes de la série multiple, ajoutés les uns aux autres, non pas dans un ordre quelconque, mais dans un ordre déterminé. Pour exprimer cette circonstance, comme nous l'avons déjà dit (page 39), nous désignerons la somme dont il s'agit sous le nom de somme syntagmatique. Lorsque la série multiple proposée sera ordonnée suivant les puissances entières de plusieurs variables, nous supposerons communément les divers termes groupés de manière que chaque série simple se trouve ordonnée suivant les puissances entières d'une seule de ces variables. Si la série multiple devient convergente, la somme syntagmatique se confondra évidemment avec la somme unique de cette même série.

Pour abréger, nous appellerons séries syntagmatiques les séries qui

admettent des sommes syntagmatiques. Leur théorie, comme celle des séries convergentes, se trouve intimement liée à la loi de continuité des fonctions; et l'on peut établir à ce sujet des théorèmes qui paraissent dignes de l'attention des géomètres. Le premier paragraphe du présent Mémoire a pour objet la démonstration de plusieurs de ces théorèmes, et en particulier de ceux que je vais indiquer.

Concevons qu'une fonction de plusieurs variables reste continue quand on attribue aux modules de ces variables des valeurs qui diffèrent très peu de certaines valeurs déterminées. Alors la fonction sera développable en une série multiple et convergente ordonnée suivant les puissances entières des variables. Mais ce développement pourra changer de forme, si l'on vient à changer les valeurs dont il s'agit. Supposons, pour rendre le raisonnement plus facile à saisir, que l'on fasse varier les modules par degrés insensibles. La forme du développement de la fonction en série convergente restera généralement la même, tant que les variations des modules n'empêcheront pas la fonction de rester continue pour des valeurs quelconques des arguments des variables. Quand cette condition cessera d'être remplie, la série trouvée pourra devenir divergente; mais elle ne cessera pas d'être une série syntagmatique, dont la somme syntagmatique sera la fonction elle-même, si les variations des modules permettent du moins à cette fonction de rester continue pour des valeurs des arguments comprises entre certaines limites.

Il importe d'observer que, dans les séries convergentes ou syntagmatiques dont nous venons de parler, un terme proportionnel à des puissances entières données des diverses variables offre une valeur complètement déterminée. Si, pour calculer le coefficient de ces puissances, dans les termes dont il s'agit, on veut développer la fonction, en attribuant aux variables des valeurs telles que la série obtenue reste convergente, on pourra, il est vrai, y parvenir en effectuant des développements successifs correspondants aux diverses variables et en suivant dans cette opération un ordre qui sera complètement arbitraire. Mais cet ordre n'aura aucune influence sur la valeur du coeffi-

56 COMPTES PxENDUS DE L'ACADEMIE.

cient, représenté généralement par une intégrale multiple dont la valeur est complètement déterminée.

Il est bon de rappeler encore ici une observation déjà faite à la page I20 ('), savoir, que, pour la rigueur des démonstrations, on doit supposer remplie une condition qui, à la vérité, l'est généralement. D'ailleurs, on préviendra toute objection en écrivant, dans chaque théorème où il s'agit d'une fonction assujettie à rester continue, que cette fonction doit demeurer telle avec ses dérivées du premier ordre.

Le second paragraphe du présent Mémoire a pour objet la série qu'on obtient quand on développe une fonction de la variable x suivant les puissances entières de l'argument de cette variable. Je remarque d'abord que chaque puissance entière de la variable est le produit de la puissance semblable du module par une exponentielle trigonométrique toujours développable suivant les puissances entières de l'argument. Il eft résulte qu'à un développement de la fonction, en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable, correspond toujours, sinon un développement convergent, du moins un développement syntagmatique de la même fonction en une série double ordonnée suivant les puissances entières de la variable et suivant les puissances ascendantes de l'argument. Mais, si l'on réduit cette série double à une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'argument, la série simple ainsi formée pourra être ou convergente ou divergente. Elle sera certainement convergente si la série double est convergente, et deviendra généralement divergente si la série double est seulement une série syntagmatique. Je montre, dans ce dernier cas, comment on doit s'y prendre pour substituer à la série devenue divergente une série convergente. Les formules auxquelles je parviens prouvent que très souvent on peut se servir encore des premiers termes de la série divergente pour calculer des valeurs très approchées de la fonction que l'on considère.

(>) OEuvres de Cauchy, S. I, T. VIII, p. 4i5.

Analyse.

§1. — Sur les séries syntagmaliqiies.

Nommons

plusieurs variables dont les modules soient

X, y, z, ..., et représentons par

une fonction de œ, y, z, .... Si cette fonction reste continue par rapport aux variables x, y, z, . . . , dans le voisinage de certaines valeurs particulières attribuées à leurs modules x, y, z, . . . , alors, pour des valeurs des modules très voisines de celles dont il s'agit, la fonction sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, y, z, C'est, en effet, ce que l'on peut

démontrer à l'aide des considérations suivantes :

Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la fonction

soit de la forme

a,h, c, ... désignant des constantes, réelles ou imaginaires, dont les

modules soient

Comme on aura pour x < a, non seulement

mais encore

OEm-rea de C. ~ S. \, i. \\ . 8

et pour X > a, non seulement

mais encore

il est clair que, si aucune des différences

ne se réduit à zéro, la fonction (i) sera toujours développable en une série multiple convergente ordonnée suivant les puissances entières deœ, y,z, ... , avec la série modulaire correspondante, dont la somme sera représentée par la fraction

(a — xj(b-y)(c — z)...

Supposons maintenant que la fonction f(^, j, 5, ...) ne soit plus de la forme qu'indique l'équation (i), mais qu'elle reste continue par rapport aux variables x,y, z, ... tant que les modules x, y, z, . . . de ces variables ne deviennent pas supérieurs, le premier x, à une certaine limite a, le second y, à une certaine limite b, le troisième z, à une certaine limite c, Alors, en désignant par

de nouvelles variables dont les modules sont précisément

a, b, c, ...; par

les arguments de ces nouvelles variables, et par N le nombre des variables ^, j, 5, ..., on aura, non seulement pour une fonction f(a?) de la seule variable x,

mais encore

Or il suit immédiatement de la formule (3) : i*" que, dans l'hypothèse admise, la fonction ï{x,y, z, ...) sera développable, avec le rapport

{u — a;}{v—ff{w — z)

en série convergente ordonnée suivant les puissances entières de x,y, z, ... ; 2" que le terme proportionnel à

jc'y"'z".

dans le développement de ï(sc, y, z, . . . ), sera la valeur de ki^mn,... étant

— U '^— Tt

Si, dans cette dernière équation, on remplace w, ç, w, ... par X, y,z, .. ., alors, en nommant/? l'argument de x,p' l'argument de y, p" l'argument de z, on trouvera

(5) Ar/„„,„....= (^^'^yy y y ...œ-'y-"\z-...{{a^,y,z,...)dpdp'dp"....

D'ailleurs, pour obtenir cette dernière formule, il suffît évidemment de supposer que, par un procédé quelconque, on est parvenu à développer f(x, y, z, . . .) suivant les puissances entières de x, y, z

de manière à obtenir une équation de la forme

la somme qu'indique le signe Ss'étendant à toutes les valeurs entières et positives de /, m, /z, . . . , et qu'ensuite on intègre, par rapport aux

angles cp, y, ^p, . . • , entre les limites — ir, h- tt, les deux membres de

l'équation (6), multipliés par le produit dp dp dp" Il en résulte

que le coeificient^/, ,„,„,... offre, avecl'intégrale comprise dans le second membre de la formule (5), une valeur complètement déterminée et indépendante du procédé suivi pour le développement de f(^,j, z, ...) en une série multiple. Donc, si cette série multiple est fournie par des développements successifs, dont chacun se rapporte à une seule variable, elle restera identiquement la même, quel que soit l'ordre dans lequel on ait effectué les diverses opérations.

Observons encore que, en vertu de la formule (4), le module du coefficient ^^, ,„,„,... sera inférieur au rapport

si l'on représente par s le plus grand module que puisse acquérir l'expression

considérée comme fonction des angles o, /, 4^, — Donc, par suite, les divers termes de la série multiple fournie par le développement de f(ic, j, s, ...) offriront des modules respectivement inférieurs aux termes correspondants du développement du produit

Supposons à présent que la fonction î(x,y, z, ...) reste continue par rapport aux variables x, y, z, . . . , tant que les modules

de ces variables ne dépassent pas les limites supérieures

ou les limites inférieures

Dans cette hypothèse, on se trouvera de nouveau conduit à des con-

dusions pareilles à celles que nous avons indiquées; et, pour les établir, il suffira de substituer aux équations (2) et (3) des équations analogues qui serviront encore à transformer en intégrales définies

f(x) et î(x, y, z-, . . .). Si l'on représente par

ce que deviennent les variables

quand on y remplace les modules

par les modules

la formule (2), en particulier, devra être remplacée par la suivante

de laquelle on déduira sans peine l'équation qui devra être substituée à la formule (3). Alors aussi la somme qu'indique le signe S dans la formule (6) devra être étendue à des valeurs entières quelconques de

l, m, n, Enfin, dans les expressions (7), (8), s devra représenter

le plus grand module que l'expression

considérée comme fonction des angles o, /, v(^, . . . , puisse acquérir, quand on attribue à la variable u un des modules a, a,, à la variable (^

un des modules b, b,, à la variable w un des modules c, c , Cela

posé, on pourra évidemment énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Nommons

oc, y, z, ...

des variables dont les modules soient

Représentons par i{x^ y, z, . . .) une /onction de ces variables, et supposons que cette fonction reste continue pour toutes les imleurs des modules

qui ne dépassent pas certaines limites supérieures

ni certaines limites inférieures

3/> b,, Cl, ....

Non seulement, pour de telles valeurs des modules x, y, z, . . . , la fonction sera développable, suivant les puissances entières des variables x, y, z, . . . , en une série multiple et convergente qui sera unique, et conservera toujours la même forme, mais, de plus, les divers termes de cette série offriront des modules respectivement inférieurs aux modules des termes correspondants de la série convergente que fournit le développement du produit

è) désignant la plus grande valeur que puisse acquérir l'expression

considérée comme fonction des arguments des diverses variables, quand on attribue à la variable x un des modules a, a,, à la variable y un des modules b, b,, à la variable z un des modules c, c,,

Corollaire I. — Lorsque, la fonction ï{x,y,z, ...) étant développable en série convergente, on désigne par

le coefficient du produit

xl y-m z"

dans le développement, on a

les sommations qu'indique le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs

entières, positives, nulle et négatives des exposants l, m, n, Pour

fixer les idées, nous supposerons dorénavant les sommations relatives aux diverses variables, ou, ce qui revient au même, les sommations relatives aux divers indices effectuées successivement, et l'ordre dans lequel les variables seront écrites indiquera l'ordre dans lequel les sommations seront effectuées. Ainsi, en particulier, si les variables a?, y, ... se réduisent à deux, nous emploierons la formule

pour exprimer que la fonction f(a7, j) résulte de deux sommations successives relatives, la première à la variable x, la seconde à la variable y, ou, ce qui revient au même, pour exprimer que la fonction f (ic, j) est la somme d'une série simple et convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de j, dont chaque terme est à son tour la somme d'une série simple et convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. Au contraire, nous nous servirons de la formule

(13) . ï{x,y)^^lk,,,,j""x',

pour exprimer que la fonction f(a;, j)est la somme d'une série simple et convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, dont chaque terme est lui-même la somme d'une série simple et convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de j. Il est bon d'observer que, lorsque, au lieu de remonter de la série double ou multiple à la fonction f(^, j) ou ^{x, y, s, . . .), on redescend de cette fonction à la série multiple par une suite de développements partiels dont chacun se rapporte à une seule variable, ces développements partiels se présentent dans un ordre inverse de celui suivant lequel les sommations étaient effectuées, le premier développement devant être évidemment relatif à la série simple du rang le plus élevé. Observons encore que, la série multiple étant supposée convergente, l'ordre dans lequel les diverses sommations seront effectuées n'aura aucune

influence sur leur résultat définitif. Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'une série double, les formules (12) et (i3) entraîneront immédiatement la suivante

Corollaire IF. — Jusqu'ici nous avons supposé que les modules x, y, z, ... des variables Xy y, z, ... ne dépassaient pas les limites supérieures

ni les limites inférieures

entre lesquelles ils peuvent varier, sans que la fonction ï{x, y, z, ,. .) cesse d'être continue pour des valeurs quelconques des arguments de x,y, z, Supposons maintenant que les modules x, y, z, . . . , continuant à varier par degrés insensibles, dépassent les limites dont il s'agit, et que le développement de la fonction î(^x,y, z, . . .) devienne divergent. Concevons d'ailleurs que, avec les modules x, y, z, . . . , on fasse varier encore, par degrés insensibles, les arguments dex^y^z, .... La notation

— ■-' '^l,ni,ri,...^ J ~> . . . ,

en cessant de représenter la somme d'une série convergente, représentera du moins une somme syntagmatique, tant que chacune des séries simples produites par les diverses sommations restera convergente. Alors aussi, cette somme syntagmatique étant certainement Une fonction continue des variables x, y, z, .,., il suit du théorème IV de la page 89 que la formule (11) ne cessera pas de subsister, si d'ailleurs la fonction ï{x,y,z, ...) reste elle-même continue. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorè31E II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, concevons que les diverses sommations indiquées par le signe S, dans la formule Çii) et autres semblables, soient effectuées successivement et indépendamment les unes des autres, en sorte que chacune d'elles ait pour

objet le calcul de la somme ou des sommes d'une ou de plusieurs séries simples ordonnées suivant les puissances entières d'une même variable. Supposons d'ailleurs qu'à la suite du signe S on écrive les premières les variables auxquelles se rapportent les premières sommations. Supposons enfin que, après avoir attribué à ce, y, z, ... des valeurs dont les modules ne dépassent pas les limites supérieures a, b, c, . . . , ni les limites inférieures a^, 1),, c,, . . . , on fasse varier tout à la fois ces modules et les arguments des variables par degrés insensibles. Si les variations dont il s'agit, en détruisant la convergence de la série multiple produite par le développement de la fonction ï(^x,y, z, . . .), sont telles néanmoins que cette fonction ne cesse pas d'être continue, et que les séries simples correspondantes à chaque sommation ne cessent pas d'être convergentes, la formule (il), c est-à-dire l'équation

ne cessera pas de subsister pendant la durée des variations de x, y, z, ... ; seulement l' expression

qui représentait d'abord la somme unique d'une série multiple convergente, pourra devenir la somme syntagmatique d'une série divergente.

Corollaire L — D'après ce que nous avons dit, les conditions qui doivent être remplies pour que la formule (ii) continue de subsister se réduisent à ce que la fonction ï{x,y,z, ...) et la somme syntagmatique

restent l'une et l'autre continues. La dernière condition se vérifiera certainement tant que chacune des séries simples produites par les sommations successives opérées dans l'ordre suivant lequel les variables sont écrites restera convergente, ou, ce qui revient au même, tant que les développements successifs de ^(x,y, z, ...) pourront s'effectuer dans un ordre inverse. Cette remarque permet au calculateur de s'assurer, par la seule considération de la fonction f(x,y,z, .. .),

OEuvresde C. — S. I, t. IX. 9

si les conditions sous lesquelles subsiste la formule (ii) sont ou ne sont pas vérifiées.

Corollaire IL — Supposons que, dans la formule (ii), on renverse l'ordre suivant lequel les variables sont écrites. Cette formule deviendra

(i5) i{cc,y,z,...) = l.k,,^,n,...---z-y'-x',

la variable x étant alors celle à laquelle se rapportera la dernière sommation, ou, ce qui revient au même, le premier des développements successifs de la fonction f(rr, y, z, . . .). Soit, d'ailleurs, A^ le coefficient de x^ dans cette fonction développée en une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. L'équation

(i6) i{x,y,z, ...) = lkix^,

comparée à la formule (i5), fournira l'équation

(17) kl='^k,,r„,n,...-'--"y'"y

et, comme cette dernière devra subsister tant que la formule (i5) subsistera, il est clair qu'on pourra énoncer encore le théorème suivant :

Théorème III. — Nommons

une fonction des variables x,y, z, ... qui reste continue pour des valeurs de X, y, z, ... dont les modules soient très voisins de certains modules déterminés, et supposons que, pour de telles valeurs, on développe, comme on pourra toujours le faire, la fonction {{x,y,z, . . .) : 1° ew une série simple ordonnée suivant les puissances entières de x; 2" en une série multiple ordonnée suivant les puissances entières de x, y, z, .... Soient d'ad-

leurs

kix^ et A-/, ;„,„,. .....5"/'"^'

les termes généraux de ces deux séries. Non seulement on aura, pour les

valeurs primitwement attribuées à x, y, z, . . . ,

l.kiX'=lki^,n,„,...

et, par suite,

mais on peut ajouter que l'équation (19) ne cessera pas de subsister, si l'on fait varier à la fois les modules et les arguments de y, z, ... par degrés insensibles, pourvu que ces variations, combinées avec une varialion correspondante et convenable de x, permettent à la fonction

i{oc,y,z, . ..)

et à la somme syntagmatique

de rester l'une et l'autre continues par rapport à x, y, z, ....

Corollaire L — Les conditions énoncées dans le théorème III, et sous lesquelles la formule (19) continue de subsister, se trouveront évidemment remplies, si les variations attribuées k x, y, z, ... sont telles que la fonction ï{x,y,z, . . .) et les divers termes de son développement suivant les puissances entières de x restent fonctions continues des variables x, y, z, ..., pour les modules acquis par ces diverses variables et pour des arguments quelconques des variables y,z, ....

Corollaire IL — Pour éclaircir ce qui vient d'être dit par un exemple très simple, réduisons ï{x,y, s, . . .) à une fonction de deux variables, et supposons, en particulier,

i{x,y) = {y-x)-^y^-a-ay(^^-i\\ \

s, t désignant des exposants réels, et a une constante dont le module soit inférieur à l'unité. La fonction f(^,j) sera certainement continue par rapport à x etj, si, en attribuant à a; un module inférieur,

mais sensiblement égal à l'unité, on attribue à j un module très petit. Alors, en posant, pour abréger,

s(s -hi). . .{s-h n — i)

l^ in — »

i .2. . .n on tirera de l'équation (20)

et par suite, si l'on nomme A„ le coefficient de x" dans le développement de f(a7, j) en une série simple ordonnée suivant les puissances entières de x, on aura, pour un très petit module de j,

(Cl \ '"

Supposons maintenant que x et y viennent à varier. Comme la formule (20) donnera, non seulement

a y \-' / ay \-'

Ç{œ,j) = {i-a)-^{i-a')-^(i-^-^\ Yi

a 4- ay

mais encore

f(x, j) = (I - a)-^ (I - a.)- fi - -^LL. (1 ,)

il est clair que la fonction f(a7, j) et les divers termes de son développement, suivant les puissances ascendantes de x, resteront fonctions continues de x, y, si le module de x et les modules des trois

expressions

ay ay ay / i

restent inférieurs à l'unité. Sous ces conditions, la formule (21) continuera de subsister. D'ailleurs, il ne sera pas nécessaire que ces conditions se vérifient pour un argument quelconque de ar : il suffira qu'elles se vérifient pour un argument de x sensiblement nul ou même égal à zéro, c'est-à-dire pour une valeur réelle et positive de x. Enfin, comme on pourra prendre pour cette valeur positive un nombre inférieur à la

limite i, mais aussi rapproché que l'on voudra de l'unité, et par suite réduire sensiblement le produit

I — a-\-ay

au rapport

I — a-\- ay

et le produit

à zéro, nous devons conclure que les conditions, sous lesquelles subsistera la formule (21), se réduiront aux deux suivantes :

mod. — ^— <i, mod. <i.

I — a I — a-{- ay

§ II. — Développement des fonctions clUine seule variable en séries ordonnées suivant les puissances entières de l'argument de cette variable.

Nommons x une variable dont x soit le module et/? l'argument, en

sorte qu'on ait

a;=zxeP'f-^ .

Soit encore f(^) une fonction de x qui reste continue pour toute valeur du module x qui ne dépasse pas une certaine limite supérieure a, ni une certaine limite inférieure a,. La fonction f(x) sera, pour une telle valeur de x, développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières de la variable x, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances ascendantes du module x; et, si l'on nomme k^ le coefficient de x" dans le développement de la fonction, on aura

(1) î{x) = lk^x\

la somme qu'indique le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulle et négatives de n. De plus, si Ton substitue à x sa

valeur dans le second membre de la formule (i), on trouvera

D'ailleurs e"^v/-< sera, pour une valeur quelconque de n, développable suivant les puissances ascendantes de/? par la formule

;rt/;./-l — y \^ y V pm

la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de m, et le produit i.i...m devant être remplacé par l'unité quand m s'évanouit. Donc la formule (2) donnera encore

(3) [{x) = lkS'^^'^^ p'-x\

la première des sommations qu'indique le signe S étant relative aux diverses valeurs de m. Ainsi la fonction f(^), développée d'abord en une série simple ordonnée suivant les puissances entières de Xy sera encore développable en une série double et convergente, ou du moins en une série double syntagmatique ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'argument p et suivant les puissances entières du module x. Lorsque cette série double sera convergente, on pourra renverser l'ordre des sommations et substituer à l'équation (3) cette autre formule

(4) {{x)=1kS-^^^El^^npm^

Alors aussi, en posant, pour abréger,

on trouvera

la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de m.

II est bon d'observer que, dans l'équation

on peut toujours supposer l'argument/? compris entre les limites — r., -h T.. Adoptons cette supposition. Pour que la série double produite par le développement de la fonction

f(^)=:f(xe''v^)

reste convergente, il suffira que l'expression

considérée comme fonction de deux variables x et/?, reste continue par rapport à ces variables, dans le cas même où chacune d'elles, sans changer de module, deviendrait imaginaire; et comme, dans ce cas, pour un module de p compris entre les limites — -, -h t., le module de l'exponentielle trigonométrique eP^ ne pourrait dépasser la limite supérieure e'^, ni la limite inférieure e-'^, il suffira que, des deux produits

le premier ne puisse devenir supérieur à la limite a, ni le second inférieur à la limite a,. En d'autres termes, il suffira que les logarithmes

népériens des rapports

x' ïï;

surpassent tous deux le nombre

TT = 3,i4i59265. . ..

D'autre part, en désignant par u, v deux variables nouvelles qui aient pour modules a, a,, et pour argument un angle variable 9, on aura

— Tl «^ — TV

Ce n'est pas tout : si l'on pose, pour abréger,

l'équation

pourra s'écrire comme il suit

et cette équation, résolue par rapport à/?, offrira une infinité de racines de la forme

(8) pr=.(s^ — Q\/—i -\- liv:^

i désignant une quantité entière positive ou négative. On trouvera, par suite,

(9) —^^—sT^^y, — ^T=^'

la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières de i. De même, en posant

on trouvera

/? — ( 9 + 2 f Tî ) — ô, s/— 1

Cela posé, on tirera évidemment de la formule (6)

271 J^.^[^(ç|2i7r) + Ôv/— T yO — (9H-2J7T) — 0,V^— iJ

Lorsque le nombre it est effectivement compris entre les limites 0, G,, qui représentent les logarithmes népériens des rapports -, —5 on peut développer suivant les puissances ascendantes de p chacune des fractions comprises sous le signe f dans le second membre de la formule (i i), et alors on obtient la valeur de ^(cc), développée à son tour

suivant les puissances ascendantes de/?, par une formule qui s'accorde nécessairement avec l'équation (5). Ajoutons que, si dans le second membre de la formule (ii) on nomme $ la partie correspondante à une valeur nulle de i, on aura

dcf

dd^.