R'P = PS

/ étant un nombre entier quelconque. Or il résulte évidemment de l'équation (5) que, des deux formules

la première entraînera toujours la seconde et réciproquement. Donc la plus petite valeur entière de /, propre à vérifier la première formule, sera aussi la plus petite valeur entière de / propre à vérifier la seconde. Donc R et S seront toujours deux substitutions de même ordre, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Si l'on multiplie deux substitutions l'une par l'autre, on obtiendra pour produit une troisième substitution dont l'ordre ne variera pas quand on échangera entre eux les deux facteurs.

Ainsi, par exemple, si l'on multiplie : i" (x,y) par (y, z); 2° (y, z) par (x,y), on obtiendra pour produit, dans le second cas comme dans le premier, une substitution du second ordre, et l'on trouvera

iy,z){x,y) = {a:,z,y), {^,y) (y,^) = {^,y, z). '

Deux substitutions étant toujours inverses l'une de l'autre, quand leur produit est l'unité, on en conclut que la substitution PQ a pour inversé Q-'V~\ et que, pareillement, la substitution P^Q^ a pour inverse Q~'^P-'^.

Concevons maintenant que la suite

représente un système de substitutions conjuguées. Si l'on nomme a l'ordre de la substitution P, la suite (7) devra renfermer, en premier lieu, les substitutions

(8) I, P, PS ..., p«-i.

Soit, d'ailleurs, Q une des substitutions qui font partie de la suite (7), sans être renfermées dans la suite (8). La suite (7) renfermera les substitutions