R, PR, P^R

et aucune de ces dernières ne sera comprise ni dans la suite (8), ni même dans la suite (9); car, si l'on avait, par exemple.

on en conclurait

P^R — p/'Q, Rz=p/-^Q.

En continuant ainsi, on partagera finalement la suite des substitutions conjuguées

en plusieurs suites

/ I, P, PS I Q, PQ, P^Q, i R, PR, P^R, .

pa-1

dont chacune renfermera a substitutions diverses. Donc, si l'on nomme I le nombre des substitutions conjuguées

ou, ce qui revient au même, l'ordre de leur système, I sera un multiple de a. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème IL — L'ordre d'un système de substitutions conjuguées est divisible par l'ordre de chacune de ces substitutions.

Corollaire. — Il importe d'observer que, en raisonnant toujours de

la même manière, on pourrait intervertir Tordre des facteurs, et substituer ainsi au Tableau (lo) un Tableau de la forme

/ I, P, PS ..., p«-s

\q, QP, QP% ••., QP^-\ (il) \

R, RP, RPS ..., RP«-',

On peut encore établir la proposition suivante :

Théorème III. — Soient

deux substitutions, la première de l'ordre a, la seconde de l'ordre h, et supposons qu'aucune des substitutions

P, PS ..., P»-i

ne se retrouve parmi les substitutions

Q, Q\ ■■., Q^-', en sorte que l'équation

ne se vérifie jamais , excepté dans le cas ou l'on a

Supposons encore que les deux suites

(i3) P, PQ, P^O, ..., P«-'Q

(»4) Q, QP, QP2, ..., Qpa-i

offrent précisément les mêmes substitutions, rangées seulement suivant deux ordres différents. Alors toutes les dérivées des deux substitutions P, Q seront comprises dans chacune des formes

(13) p/.QA-^ Q^p^^

et, par suite, ces dérivées offriront un système de substitutions conjuguées dont l'ordre sera égal au produit ab.

Démonstration. — En effet, pour déduire les dérivées dont il s'agit

les unes des autres, et pour les déduire même des substitutions P et Q,

il suffira d'effectuer des multiplications successives dans lesquelles

le multiplicateur sera toujours P ou Q, le multiplicande étant l'une

des dérivées déjà obtenues. Or, si dans ces multiplications on emploie

une seule fois le facteur Q, la forme la plus générale du produit

obtenu R sera

R-P^QP'»,

et, dans l'hypothèse admise, on pourra réduire ce produit R à l'une quelconque des deux formes P^Q, QP'^, puisqu'on pourra échanger le facteur Q avec l'un quelconque des facteurs P^, P'^', en modifiant convenablement la valeur de h ou h'. Si l'on emploie deux fois le facteur Q, la forme la plus générale du produit obtenu R sera

R=:P/'QP/^QP/'\

Maison pourra encore échanger chacun des facteurs Q avec une puissance quelconque de P, en modifiant convenablement le degré de cette puissance, et réduire ainsi R à l'une des formes P^QS Q-P^, — Cela posé, les seules dérivées qui pourront être distinctes les unes des autres seront évidemment celles qui sont renfermées dans le

Tableau

PS