I, P, PS

\ Q, QP, QPS

1 Q6-i^ Q6-ip, Q^'-IPS

Pa-l

, QP^-', , Q^P'^-S

D'ailleurs, toutes les substitutions comprises dans chacun de ces Tableaux seront certainement distinctes les unes des autres. Car, si l'on suppose, par exemple,

h, h! étant deux termes de la suite o, i , 2, . . . , « — i , et ^, /;' deux termes de la suite o, i , 2, . . . , Z> — j , on en conclura

et, dans l'hypothèse admise, cette dernière équation entraînera les

deux conditions

h^h' (mod.a), k'=k (mod.è),

par conséquent, les deux suivantes

Enfin, tous les termes du Tableau (16) ou (17) étant distincts les uns des autres, le nombre de ces termes, qui représentera l'ordre du système de substitutions conjuguées, sera évidemment égal au produit aè.

Parmi les substitutions que l'on peut former avec n variables

^> y> *> • • • > l'une des plus simples est la substitution circulaire

dont l'ordre a est précisément le nombre n.

Si l'on représente les diverses variables par une seule lettre x, successivement affectée des indices

alors on aura

Si d'ailleurs on regarde comme pouvant être indifféremment remplacés l'un par l'autre deux indices dont la différence se réduit à un

OEuvres de C, — S. I, t, l\. ^2

multiple de n, de sorte qu'on ait, pour une valeur quelconque du

nombre entier /, .

alors, faire subir à une fonction donnée ù la substitution P*, ce sera remplacer généralement x^ par Xi^h, ou, en d'autres termes, ce sera faire croître l'indice / d'une variable quelconque de la quantité h.

Après la substitution circulaire P, qui renferme toutes les variables, l'une des substitutions les plus simples est celle qu'on obtient quand on multiplie l'indice / d'une variable quelconque par un nombre r premier à n. Nommons Q une telle substitution. Faire subir à une fonction donnée 12 la substitution Q*, ce sera évidemment multiplier l'indice / d'une variable quelconque par a^.

Cela posé, il est clair que, faire subir à une fonction donnée la substitution

ce sera remplacer l'indice /d'une variable quelconque par l'indice Au contraire, faire subir à une fonction donnée la substitution ce sera remplacer l'indice /d'une variable quelconque par l'indice Donc on aura généralement

(19) p/''QA•=Q^p^

si l'on a

h'-\-rH=r''{l-^h),

ou, ce qui revient au même, si l'on a

Mais alors l'équation (19) donnera

(20) P'-*AQA:^QA:p/».

On peut donc énoncer généralement la proposition suivante : Théorème IV. — Représentons par

Xq, ^1, Xi, • • -y Xfi

n variables distinctes, et supposons généralement Xi = x„^i = X2n+i = ■ ■ • - Soit d'ailleurs

enfin, soit r un nombre premier à n, et représentons parQ la substitution qu'on obtient quand on remplace Xi par x^i. Alors on aura, pour des valeurs entières quelconques de h et de k,

(ai) P'*AQA=rQ^pA,

Corollaire. — Il est bon d'observer que la substitution P et ses diverses puissances, quand elles ne se réduisent pas à l'unité, renferment les n variables données

X(i, Xi, X^, • • •, Xfi^^.

Au contraire, la substitution Q et ses puissances laissent toujours immobile au moins la variable x^^, même dans le cas où n est un nombre premier. Donc les substitutions désignées par P et Q dans le théorème IV ne peuvent jamais vérifier la formule

si ce n'est dans le cas où l'on a P^ = i , Q* == i . D'autre part, en posant ^ = I, on tire de la formule (21)

(22) P'/'Q — QP'i,

et il résulte de cette dernière que, dans l'hypothèse admise, les deux suites