Q, PQ, P^Q, ..., P'^-^Q

Q, QP, QPS ..., QP«-^

offrent précisément les mêmes substitutions diversement rangées. Enfin Q sera évidemment, ou une substitution circulaire, ou le pro-

duit de plusieurs substitutions circulaires de même ordre, cet ordre étant précisément le plus petit nombre entier i que vérifie la formule

(23) ri=\ (mod. n).

Cela posé, les théorèmes III et lY entraîneront la proposition suivante :

Théorème V. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème IV,

les dérivées des substitutions P, Q seront toutes comprises sous chacune

des deux formes

De plus, si l'on nomme i le plus petit nombre entier propre à vérifier la formule (23), i sera précisément l'ordre de la substitution Q, et l'ordre du système de toutes les substitutions dérivées de V et Q sera équivalent

au produit

ni.

Corollaire I. — n étant un nombre entier quelconque, et rl'un des nombres premiers à n, l'exposant / de la puissance à laquelle il faut élever la base r pour obtenir un nombre équivalent, suivant le module n, à un reste donné, est ce qu'on nomme Vindice de ce reste. Cela posé, le plus petit nombre ? propre à vérifier la formule

r' = i (mod. n)

n'est autre chose que le plus petit des indices de l'unité. Ce même nombre i est aussi celui qui indique combien l'on peut obtenir de restes différents, en divisant par n les termes de la progression géométrique

et qui a été, pour cette raison, dans un précédent Mémoire, désigné sous le nom ^'indicateur. D'ailleurs, pour un module donné n, l'indicateur i dépend de la base r et devient un maximum , quand cette base r est une racine primitive du module n. Ajoutons que, si l'on nomme / l'indicateur maximum, chacun des indicateurs correspon-

dants aux diverses bases représentées par la suite des nombres premiers à n sera égal à / ou à un diviseur de /. Observons enfin que, si l'on pose

nzzipfqs, ...,

p, q, . . . étant les facteurs premiers de n, I sera le plus petit nombre qui soit divisible à la fois par chacun des produits

l'un de ces produits, savoir celui qui répond au facteur 2, devant être remplacé par sa moitié, quand n est pair et divisible par 8.

Corollaire II. — Si /i se réduit à une puissance d'un nombre premier/3, en sorte qu'on ait

n — pf,

on trouvera

I^pf-'{p-i) = n{i-\\

Corollaire III. — Si w se réduit à un nombre premier, on aura simplement

Les observations que nous venons de faire conduisent immédiatement à la proposition suivante :

Théorème VI. — Concevons que, n variables indépendantes étant représentées par les termes de la suite

3C(jy Xy, CC<^, ■ • •} ^llf

on regarde comme pouvant être indifféremment remplacés l'un par Vautre deux indices dont la différence est un multiple de n, et posons

Soient d'ailleurs r une racine primitive du module n, et I l'indicateur maximum relatif à ce module, c'est-à-dire le plus petit des indices de l'unité correspondants à la base r. Soit enfin Q la substitution qui consiste à remplacer généralement XiparXri. L'ordre de la substitution Q sera Vin-

dicateur maximum /, el l'ordre du système des substitutions dérivées de P et de Q sera représenté par le produit

ni.

Corollaire I. — Si n est un nombre premier, on aura simplement / = /i — I, et, par suite, l'ordre du système des substitutions dérivées de P et de Q sera représenté par le produit

Corollaire II. — Concevons maintenant que l'on représente par a un diviseur quelconque de n, et par b un diviseur quelconque de /. Concevons encore que, dans la formule

où A et ^ désignent deux nombres entiers quelconques, on remplace h par ah, et k par bk; on trouvera

puis en posant, pour abréger,

(25) R=iP«, S = Q^

on obtiendra la formule