R''"AS*=5^RA

dans laquelle R, S représenteront deux substitutions dont la première

sera de l'ordre -, la seconde de l'ordre t- Cela posé, à l'aide de rai-

sonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage pour établir le théorème V, on déduira immédiatement de la formule (26) la proposition suivante :

Théorème VII. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème VI,

si l'on nomme a un diviseur quelconque de n, et b un diviseur quelconque

de /, les deux substitutions

et leurs dérivées formeront un système de substitutions conjuguées, dont

l'ordre sera

ni ab

Au lieu de représenter les diverses variables par une même lettre successivement accompagnée d'indices divers, on pourrait continuer à les représenter par différentes lettres, puis assigner à chaque variable un numéro propre à indiquer le rang qu'elle occuperait dans la série de ces lettres x,y, z, . . . écrites à la suite l'une de l'autre, suivant un ordre arbitrairement choisi. Alors la substitution désignée par Q dans les théorèmes précédents serait celle qui consiste à remplacer la variable correspondante au numéro / par la variable correspondante au numéro ri, ou plutôt au numéro équivalent au reste de la division du produit ri par le nombre n.

Supposons, pour fixer les idées, n = 5; alors cinq variables, représentées par les lettres

pourront être censées correspondre aux numéros

Alors aussi, en multipliant les quatre premiers numéros par le facteur r, on obtiendra les produits

et, si l'on pose r=2, ces produits, divisés par 5, donneront pour restes

Ainsi, dans cette hypothèse, la substitution que nous avons désignée par Q aura pour effet de substituer aux variables dont les numéros étaient

les variables dont les numéros sont

c'est-à-dire, en d'autres termes, de substituer aux variables

X, y, z, u les variables

On aura donc

Gela posé, on conclura du théorème V que les dérivées des deux substitutions circulaires

V — {x,y,z,u,v), Q = {x,y,u,z) sont toutes de la forme

et que l'ordre du système de ces dérivées est égal au produit

des nombres 5 et 4 qui représentent les ordres des substitutions P et Q. Ajoutons que, en vertu de la formule (20), on aura généralement

p2lA Q/.-- QArp/i^

§ II. — Sur la formation de fonctions qui offrent un nombre donné de valeurs égales ou un nombre donné de valeurs distinctes.

Soit Çl une fonction donnée de n variables indépendantes

Si certaines substitutions n'altèrent pas la valeur de H, toutes les dérivées de ces substitutions jouiront de la même propriété; et, par suite,

si l'on nomme

les substitutions diverses qui n'altéreront pas la valeur de la fonction ù, celles-ci formeront toujours un système de substitutions conjuguées, dont l'ordre M sera précisément le nombre des valeurs égales de Çl.

On peut aussi démontrer la proposition réciproque, dont voici l'énoncé :

Théorème. — Si M substitutions

I, P, Q, lî, S, ...,

correspondantes au système de n variables x, y, z, . . . , forment un système de substitutions conjuguées, on pourra toujours trouver une fonction ù de ces variables, qui offre M valeurs égales.

Démonstration. — Soit s une fonction finie et continue de

choisie arbitrairement parmi celles dont toutes les valeurs sont inégales, et posons, pour abréger,

IS = 1.1. . .n.

Les valeurs inégales de s, en nombre égal à A^, correspondront aux divers arrangements que l'on pourra former avec les variables x, y, z., ... ; et, si l'on nomme

celles de ces valeurs qui seront fournies par les substitutions

appliquées à la fonction s; si d'ailleurs on représente par

Fis,s„s,„ ...)

une fonction symétrique, finie et continue de s, s^, s^, ..., cette dernière fonction ne pourra être altérée par aucune des substitutions dont il s'agit. Il est aisé d'en conclure que, si l'on pose

le nombre des valeurs égales de Q sera égal a M ou k un multiple de Af . Il y a plus : le nombre des valeurs égales de Q ne sera un multiple de M que dans certains cas particuliers, par exemple lorsque, a

OEuires de C— s. l,i.iy:.. 43

étant une fonction linéaire de x, y, z, .. ., on prendra pour 12, ou la somme s -+- s^-+- s^^-i- ..., ou une fonction de cette somme. Mais le plus souvent le nombre des valeurs égales de

sera précisément M. On peut en particulier démontrer qu'il en sera ainsi quand on posera

en prenant pour s une fonction linéaire de œ, y, z, . . . , déterminée par une équation de la forme , l

s = ace -i- by -+- cz -\- . . .,

et en supposant que, dans cette même équation, les coefficients «, b, c, . . . des diverses variables sont des quantités inégales dont la somme ne s'évanouit pas. Admettons, en effet, cette hypothèse, et soit ù' une des valeurs qu'on obtient pour la fonction 12, en lui appliquant une substitution T non comprise dans la suite

Soit d'ailleurs

ce que devient s en vertu de la substitution T, les coefficients

étant les coefficients donnés

rangés dans un nouvel ordre. La fonction 12' renfermera, au lieu du facteur s, le facteur s' qui ne sera pas compris dans 12. Donc il sera impossible que l'on ait

quels que soient x, y, z, Car, si cette condition était remplie, tout

système de valeurs de x, y, z, . . . , propre à vérifier l'équation

■j'=:o OU a' X -{- b' y -\- c' Z + . . .^=z o,

entraînerait les formules

et, par suite, l'une des formules

Sz=0, S,=:0, 5„=:0, ...,

par exemple l'équation

s=:o OU ax -i- by -h cz -h . . .-=^0. Or, des deux équations

a'jr H- b'y + c'z -h . . .=: o, ax-hby-\-cz + ...~o,

dans lesquelles on a

l'une ne pourrait entraîner constamment l'autre que dans le cas où l'on aurait-

Par conséquent, dans l'hypothèse admise, 12' sera distinct de (i, et l'on pourra en dire autant de toutes les valeurs de O produites par des substitutions distinctes de

Donc ces dernières substitutions, dont aucune n'altérera la valeur de il, seront les seules qui jouissent de cette propriété; et leur nombre, représenté par M, sera aussi le nombre des valeurs égales

de la fonction

^ = ss,s„....

Corollaire I. — Le nombre des valeurs de la fonction 12 resterait évidemment égal à M si, au lieu de supposer

(0 s =1 ax -^ by + cz -h . . .,

(2) 9. = ss,s„...,

on supposait

Rien n'empêche, d'ailleurs, de réduire, dans l'équation (3), les exposants

aux nombres entiers

Alors la fonction 12, déterminée par l'équation (4), est une fonction entière de ^, y, s, . . . , et son degré, indépendant de M, se trouve constamment représenté par le nombre triangulaire

Au contraire, la fonction ù, déterminée par la formule (2), est une fonction entière de x, y, z, ... du degré M.

Corollaire IL — Soit / l'indicateur maximum correspondant au module n. Soient, de plus, a un diviseur de n, et h un diviseur de /. Nous avons vu, dans le § I, que Ton peut toujours obtenir un système de substitutions conjuguées dont l'ordre soit égal au produit

al y

ou même au rapport

ni ab

Donc, aussi, on pourra toujours, avec n lettres x, y, z, . . . , composer une fonction Q, qui ofl're un nombre M de valeurs égales, la valeur de M étant déterminée par la formule

(5) M=nl,

ou, plus généralement, par la formule

(6) M—n—r- ^ ' ab

Ajoutons que le nombre m des valeurs distinctes de cette fonction , constamment déterminé par l'équation

sera, dans le premier cas,

(8) ..^illii^^iZlO,

dans le second cas,

(9) m = j^ '- ab.

Si m se réduit à un nombre premier, on aura /= /i — i, et la formule (8) donnera

Ainsi, n étant un nombre premier quelconque, on pourra former avec

n lettres une fonction telle que le nombre de ses valeurs distinctes soit

égal au produit

Cette remarque avait été déjà faite {voir la Résolution des équations numériques, de Lagrange, Note XIII). Au reste, dans un autre article, j'indiquerai les conséquences les plus importantes des formules que je viens d'établir, et je comparerai les résultats qui s'en déduisent avec ceux qui étaient déjà connus.

Corollaire III. — Si l'on prend successivement pour m les nombres

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lo,

les valeurs correspondantes de / seront

et, par suite, les valeurs de m tirées de la formule (8) seront

Analyse mathématique. — Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières, et des systèmes de substitutions conjuguées.