PS P% PS P

seront des substitutions régulières du troisième, du second et du sixième ordre. On aura, par exemple,

Au contraire, les diverses puissances d'une substitution irrégulière

seront, les unes régulières, les autres irréguliëres, et celles qui seront régulières ne renfermeront qu'une partie des variables comprises dans la substitution donnée. Ainsi, par exemple, si l'on pose

P sera une substitution irrégulière du sixième ordre, et

sera encore une substitution irrégulière du sixième ordre. Mais

seront des substitutions régulières du troisième ou du second ordre, dont chacune ne renfermera nécessairement qu'une partie des variables comprises dans P.

Si l'on désigne généralement par «le nombre des variables que renferme une substitution régulière P, l'ordre a de cette substitution et le nombre b de ses facteurs circulaires seront évidemment liés à i par

la formule

ir=zab.

Cela posé, concevons que l'on range sur a lignes horizontales distinctes, et sur b lignes verticales, les i variables comprises dans P, en plaçant à la suite l'une de l'autre, dans une même ligne horizontale, les variables qui se suivent immédiatement dans un même facteur circulaire de P. On obtiendra encore une substitution régulière Q de l'ordre i, en prenant, pour facteurs de Q, a substitutions circulaires de l'ordre^, dans chacune desquelles seront placées, à la suite l'une de l'autre, les variables que renferme une même ligne verticale. De plus, il est clair que les deux substitutions

dont l'une aura pour effet unique d'échanger entre elles les lignes verticales, tandis que l'autre aura pour effet unique d'échanger entre elles les lignes horizontales, seront deux substitutions permutables entre

elles, par conséquent deux substitutions dont les dérivées seront toutes comprises dans chacun des Tableaux

PS

QP,

QPS