v^zirr Hu) f

et, par suite,

la valeur de c^ étant

Remarquons enfin que, des formules (5) et (i3), on tirera

i{x)-(^^l{K,-c,n)p^ et, par conséquent.

Supposons maintenant que le nombre t: cesse d'être renfermé entre les limites ô, 6,. Alors les équations (5) et (i3) cesseront d'être exactes, attendu que les fractions renfermées sous le signe T, dans la valeur de $, cesseront d'être toujours développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de p. Mais il n'en sera pas de même des autres fractions renfermées sous le signe Tdans le second membre de la formule (ii), attendu que, pour une valeur de i différente de zéro et pour une valeur de ç comprise entre les limites — tt, + 71, les modules des expressions imaginaires

seront toujours supérieurs au nombre tt. Donc alors la formule (i5) continuera de subsister. Ainsi, dans le cas où le développement de i(x) en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de p

OEuvresdeC. — S. I, t. IX. lO

deviendra divergent, il suffira de modifier la série obtenue, comme l'indique la formule (i5), pour retrouver un développement convergent auquel devra s'ajouter la valeur de $ déterminée par l'équation (12). Remarquons encore que, dans la formule (12), les fractions comprises sous le signe y pourront généralement se développer, pour certaines valeurs de ç, suivant les puissances ascendantes de p, et, pour d'autres valeurs de «p, suivant les puissances descendantes dey», et que, en conséquence, la fonction ^ sera toujours développable, suivant les puissances ascendantes et descendantes de/>, en une série dont les coefficients seront des intégrales prises entre des limites qui dépendront elles-mêmes de l'argument p.

Je développerai, dans d'autres articles, les conséquences les plus remarquables des nouvelles formules que je viens d'établir.

Analyse mathématique. — Mémoire sur les approximations des fonctions

de très grands nombres.