C. R., T. XXI, p. 972 (3 novembre i

§ I. — Théorèmes relatifs à un système quelconque de substitutions conjuguées, que Von suppose appliquées à une fonction de plusieurs variables indépenda ntes.

Soient

Q une fonction de n variables indépendantes x, y, z, . . .; Af le nombre des valeurs égales de la fonction 12; m le nombre de ses valeurs distinctes.

Alors, en posant, pour abréger,

TV = 1.2. 3... n, on aura

(0 mM — N',

ot, par conséquent, chacun des nombres entiers m, ^sera un diviseur de N. Soient d'ailleurs

les diverses substitutions qui n'altèrent pas la valeur de H. Ces substitutions, dont le nombre sera précisément M, composeront, comme l'on sait, un système de substitutions conjuguées. Soit maintenant

un autre système de substitutions conjuguées, et nommons oro l'ordre de ce dernier système.

Soient encore

(4) ^, ^', ^", ••• les valeurs distinctes de la fonction £2, et

celles de ces valeurs qui sont altérées par chacune des substitutions

Chacun des termes qui, étant compris dans la série (4), se trouve exclus de la série (5), représentera une fonction qui ne sera point altérée quand on effectuera les substitutions

ou du moins quelques-unes d'entre elles; et, si l'on nomme &C le nombre de ces mêmes termes, /?2 — ac sera le nombre des termes de la série (5).

Concevons à présent que l'on applique à l'un des termes de la série (5), par exemple à la fonction $, les substitutions

I, 'j?, ^, s^, ..., et soient

les diverses valeurs de Q ainsi obtenues. Chacune d'elles ne pourra être qu'un terme de la série (5), c'est-à-dire une des fonctions qui sont altérées par l'application de l'une quelconque des substitutions

En effet, supposons un instant, s'il est possible, qu'on n'altérât pas la fonction $' en lui appliquant la substitution ^. Alors on pourrait passer de $ à $', en appliquant à <& l'une quelconque des deux substitutions

et, réciproquement, on pourrait passer de $' à $, en appliquant à $' l'une des substitutions inverses

Donc alors O ne serait point altéré par l'application de la substitution

^-»^$ ou <S-'^'%

qui serait semblable à ^, ou à ^~', et se confondrait avec une dérivée

des substitutions

(S, % Si, ...,

par conséquent avec l'une de ces mêmes substitutions. Or cette conclusion ne saurait être admise, puisque O, étant un terme de la suite (5), devra être altéré par chacune des substitutions

^, t, SI, ....

11 est même facile de voir que deux termes quelconques de la suite (6) devront être distincts l'un de l'autre. Car, supposons un instant que l'on pût avoir

alors on pourrait passer de $ à $', en appliquant à $ l'une quelconque des substitutions

et revenir de $' à $, en appliquant à 0' l'une quelconque des substitutions inverses

Donc alors $ ne serait point altéré quand on lui appliquerait l'une quelconque des substitutions

(P-'^ ou ^-'$, dont chacune représente encore un terme de la suite

te, ^, cfl, ....

Cette conséquence étant inadmissible, nous devons conclure que les 3\l termes de la série (6) seront des termes distincts, dont chacun faisait déjà partie de la série (5).

Soient maintenant

quelques-unes des substitutions qui, étant appliquées à la fonction 12, produisent les termes de la série (5), et formons le Tableau

X), (£X!), ^O, SiXD, 'Ç, (S\^, ^t?, S{.V, #, ^;g), ^lîJ), axg),

Si l'on applique à la fonction Ù chacune des substitutions comprises

dans ce Tableau, chacune des diverses fonctions que l'on obtiendra

sera, d'après ce qu'on vient de dire, un terme de la série (5), et même

les 3TL fonctions, produites parles substitutions que renferme une ligne

horizontale du Tableau (7), seront distinctes les unes des autres. De

plus, si deux substitutions comprises dans deux lignes horizontales

distinctes, par exemple

($V et ^t?,

produisent la même fonction X, on pourra revenir de X à (2 en appliquant àX l'une quelconque des substitutions inverses

et par suite on n'altérera pas la fonction (2 en lui appliquant la substitution

ou, ce qui revient au même, en lui appliquant d'abord la substitution

déjà comprise dans la première ligne horizontale du Tableau (7), puis la substitution \')-*. Donc, si l'on nomme W la fonction que l'on obtient quand on applique à D la substitution ^-'^^o, la substitution -c?-' transformera IF en ù, et la substitution inverse t? transformera O en W.

Donc

^XD et ^x?,

c'est-à-dire deux substitutions, comprises dans la deuxième et la troisième ligne horizontale du Tableau (7), ne pourront produire la même fonction X que dans le cas où la substitution représentée par le premier terme 'Ç de la troisième ligne horizontale reproduirait l'une des fonctions déjà produites par un terme de la deuxième suite horizontale. Donc, pour que les diverses fonctions produites par les substitutions (7) soient toutes distinctes les unes des autres, il suffît que, après avoir formé une ou plusieurs lignes horizontales du Tableau (7), on prenne toujours pour premier terme de la ligne suivante une substitution qui, appliquée à ù, reproduise un terme de la série (5), sans jamais reproduire un des termes fournis par les substitutions que renferment les lignes déjà écrites. Or, ces conditions étant supposées remplies, concevons que l'on allonge de plus en plus le Tableau (7), en ajoutant sans cesse à ce Tableau de nouvelles suites horizontales. On ne pourra être arrêté dans cette opération qu'à l'instant où l'on aura épuisé tous les termes de la série (5). Alors les substitutions (7), appliquées à û, reproduiront tous les termes de la suite (5). Donc les termes qui composent cette suite, et qui sont en nombre égal h /n — m:, pourront être répartis entre diverses suites correspondantes aux lignes horizontales du Tableau (7) et composées chacune de 3ïi termes. Donc la différence

M — !K sera un multiple de 0lt, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème T. — Soit ù une fonction de plusieurs variables indépendantes X, y, z, Soient encore

les valeurs distinctes de ù, et m le nombre de ces valeurs distinctes. Soit

enfin

un système quelconque de substitutions conjuguées et relatives aux variables x, y, z-, Nommons DTl l'ordre de ce système et ûi le nombre

de celles d'entre les fonctions 12, Q,\ ù", . . . qui ne sont pas altérées quand on effectue les substitutions

ou du moins quelques-unes d'entre elles. La différence m — TK. sera un multiple de 311/, en sorte qu'on aura

<8) 771 — ^ = 0 (mod. 011).

Corollaire. — Soit U l'une des substitutions qui servent à déduire de

la fonction Çl l'un des termes de la suite (5), par exemple le terme $.

Soit encore

le système des substitutions, conjuguées qui possèdent la propriété de ne pas altérer la fonction O. Les substitutions

seront respectivement semblables à

de sorte qu'on aura, par exemple,

P'=UPU-S P'U = UP;

et, par suite, les substitutions diverses qui transformeront ù en $,

savoir