U, PU, Q'U, RU

se confondront avec celles que présente la série

U, UP, UQ, UR, ....

Cela posé, les substitutions à l'aide desquelles on passera de la fonction ù aux divers termes de la série

seront évidemment comprises dans un Tableau de la forme

U, UP, UQ, UR, ...,

, V, VP, VQ, VR, ...,

^ W, WP, WQ, WR, ...,

et toutes distinctes les unes des autres. D'ailleurs, chacun des termes de la série (5) devant être altéré quand on lui applique l'une des substitutions

% % Si, ...,

deux termes pris au hasard dans une même ligne horizontale du Tableau (9), par exemple

UP, UQ,

ne pourront satisfaire à une équation de la forme (lo) <îaUP = UQ;

et réciproquement, si une équation de cette forme ne peut jamais avoir lieu, un terme quelconque de la série (5) sera toujours altéré quand on lui appliquera l'une des substitutions

Enfin, l'équation (10), de laquelle on tirera

aUirrUQP-',

OF.m-res de C. — S. I, t. IX. /,8

se présentera sous la forme

(II) aU=:US,

si, pour abréger, l'on désigne par S la substitution

QP-^

qui sera toujours un des termes de la série

et dire que l'équation (ii) ne peut subsister, c'est dire qu'aucune substitution de la forme $U n'est en même temps de la forme UP, f lorsque Ç^ et P ne se réduisent pas l'un et l'autre à l'unité. Donc le théorème 1 entraîne immédiatement la proposition suivante :

Théorème II. — Formons avec n variables x, y, z, ... deux systèmes de substitutions conjuguées, savoir

et

Soient M l'ordre du premier système, dXl l'ordre du second système. Enfin nommons

des substitutions tellement choisies, que le produit

UP

de l'une des substitutions

par un terme U de la série (12) ne puisse jamais être équivalent, ni à un

autre produit

VQ

de la même forme, dans lequel y serait différent de U, ni au produit

du terme \] par l'une des substitutions

Si l'on pose, pour abréger,