MM

et si l'on représente par m ~ ^le nombre total des substitutions que l'on pourra faire entrer dans la série (12), la différence

m — tK.

sera divisible par DXi.

Nota. — On pourrait démontrer directement le théorème II en faisant voir que, dans l'hypothèse admise, toute substitution U, pour laquelle ne se vérifiera jamais une équation de la forme (u), sera nécessairement comprise dans le Tableau (9), et que l'on pourra extraire des diverses colonnes horizontales de ce Tableau, qui seront en nombre égal à m — ?>c, un pareil nombre de substitutions nouvelles

t), 'Q, tg), ...

tellement choisies, que le Tableau (7) sera uniquement composé de termes pris dans le Tableau (9), un seul terme étant pris dans chaque ligne horizontale du même Tableau.

Corollaire. — Il importe d'observer que

M{m — K) = N—MÙ{.

sera le nombre total des substitutions comprises dans le Tableau (9), c'est-à-dire des substitutions U pour lesquelles ne se vérifie jamais la formule (11). Donc Moi représentera le nombre des substitutions U pour lesquelles se vérifie la même formule, et le théorème II peut être remplacé par la proposition suivante :

Théorème Ilï. — Formons avec n variables x, y, s, ... deux systèmes

de substitutions conjuguées, savoir

I, "-S, % Si, ...;

soient d'ailleurs M, Oli les ordres de ces deux systèmes, et MtK le nombre des substitutions U qui vérifient une ou plusieurs équations de la forme

(l4) $U=:UP.

Si l'on pose, pour abréger,

la différence

sera divisible par on.

m — fK

Les théorèmes I, II et III entraînent avec eux un grand nombre de conséquences qui sont encore dignes de remarque. Nous allons en indiquer quelques-unes.

La formule (i4)» tle laquelle on tire

(e=zupu-'.

exprime que la substitution $ est semblable à la substitution P. Si cette condition ne peutjamais être remplie, c'est-à-dire si aucune des substitutions

/i», % Si, ...

n'est semblable à l'une des substitutions

îh: = o,

on aura

et l'on conclura du théorème III que m est divisible par D\l. On se trouvera donc ainsi ramené au théorème II de la page 356.

Supposons maintenant que la condition (i5) puisse être remplie, mais que l'on ait OîL >> ttî ; alors, pour que la différence m ~x soit divi-

sible par 3ïi, il faudra que l'on ait précisément

On peut donc déduire du théorème I la proposition suivante :

Théorème IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, si l'on a

(i6) /«OR,

chacune des fonctions 12, ù\ Q," , ... jouira de cette propriété, qu'elle ne sera point altérée quand on effectuera les substitutions

^, % Si, ...,

ou du moins quelques-unes d'entre elles.

Il importe d'observer que, si l'on pose, pour abréger,

la condition (i6) donnera

(17) m m < TV.

Rien n'empêche de faire coïncider les substitutions conjuguées

I, ^r, % iK, ...

avec les substitutions conjuguées

qui possèdent seules la propriété de ne point altérer ù. Alors on aura

OlL =r M;

et, en nommant K ce que deviendra le nombre 3<:, on tirera de la formule (8)

m — K^so {mod. M).

On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème V. — Soient

Ci une fonction de n variables x, y, z, ... ;

M le nombre de ses valeurs égales;

m le nombre de ses valeurs distinctes (2, Q! , Q,", ... ;

I, P, Q, R, .. . les substitutions conjuguées qui n altèrent pas la valeur

de a-, Kle nombre de celles d'entre les fonctions ÇL, £}', £2", . . . qui ne sont pas

altérées quand on leur applique une ou plusieurs des substitutions

La différence m — K sera divisible par M, en sorte qu'on aura (i8) m — K = o (mod. ^/).

Corollaire. — Si le nombre m des valeurs distinctes de la fonction Q, est inférieur à sJN, on aura m<CM, et par suite la formule (i8) se réduira simplement à l'équation

Donc alors la valeur de chacune des fonctions 12, 12', 12", . . . demeurera intacte quand on effectuera les substitutions P, Q, R, . . . , ou au moins l'une d'entre elles.

Si, dans le théorème I, on remplace le système des substitutions conjuguées I, Ç, ^, ^, . . . par les diverses puissances d'une seule substitution P de l'ordre i, on obtiendra la proposition suivante :

Théorème VI. — Soit 12 une fonction de plusieurs variables indépendantes ce, y, z-, ... ; soient encore

les valeurs distinctes de cette fonction, et m le nombre de ses valeurs égales.

Soient enfin P une substitution de l'ordre i et k le nombre de celles d'entre

les fonctions 12, 12', 12", . . . qui ne sont pas altérées quand on effectue les

substitutions