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la formule (9.0), réduite à

1 .2. . .(/? — i) 4- 1 ^ o (mod./?), reproduira le théorème de Wilson.

§ II. — Sur le dénombrement des substitutions diverses qui n'altèrent pas une fonction de plusieurs variables indépendantes.

Soit 12 une fonction de n variables indépendantes

Nommons

les valeurs distinctes de cette fonction qui résultent de permutations opérées entre les variables, et m le nombre de ces valeurs distinctes. Soient encore

P une substitution de l'ordre i, prise parmi celles qui n'altèrent pas la valeur de 12;

P, P', P", ... les diverses substitutions semblables à P;

cj le nombre des substitutions P, P', P", . . .;

h le nombre de celles des substitutions P, P', P", ... qui n'altèrent pas la valeur de 12;

k le nombre de celles des fonctions 12, 12', 12", ... qui ne sont pas altérées par la substitution P.

On aura, comme nous l'avons déjà montré dans un précédent article,

(2) Iimzrzkw\

et chacun des rapports égaux

devra être évidemment, ou inférieur, ou tout au plus équivalent à l'unité. Si d'ailleurs on nomme M le nombre des valeurs égales de la fonction 12, et A^ le produit i . 2 . 3 . . . /^, on aura, non seulement

(3) mM = N,

(4) 2A = yW,

la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les formes que peut revêtir la substitution P.

Concevons maintenant que Q, étant une fonction transitive de n, de n — 1, de n— 1, et même de /z — /-f- 1 variables, soit une fonction intransitive de n — l variables. La série (i) et, par suite, les valeurs de m et de k resteront les mêmes pour (2 considéré comme fonction de n variables, et pour ù considéré comme fonction de n — l variables.

Soient d'ailleurs

6, çp et OÏL

ce que deviendraient, pour Q considéré comme fonction de n — l variables, les quantités

h, w et M.

Alors,' à la place des formules (2), (3), (4), on obtiendra les suivantes

(6) . m3ïl = S(Z,,

la valeur de <d^ étant i.2.3...(/z — /), et

(7) lè = DJi.

Cela posé, on tirera des formules (2) et (5)

la valeur de ô étant

Enfin, si l'on nomme r le nombre des lettres qui demeurent immobiles quand on effectue sur Q, considéré comme fonction de n variables, la substitution P, on aura, en vertu de la formule (j) de la page 289,

On aura d'ailleurs, en vertu des formules (3) et (6), (II) ^ = ~M= ^

OFMvres de C. — S. \, t. IX. 49

Remarquons à présent que, en vertu des formules (7) et (8), on aura

(12) 2| = 3nL.

Si, dans cette dernière équation, on substitue les valeurs de ^ et de on données par les formules (10) et (i i), alors, en effaçant le dénominateur commun aux deux membres, on trouvera

(i3) lr{r — i)...{r — l-\-i)h=zM.

Il importe d'observer que, r étant le nombre des variables exclues de la substitution V, n — r sera le nombre des variables nécessairement comprises dans cette même substitution. Cela posé, soient

les diverses substitutions qui n'altèrent pas la valeur de ù, et nommons Hn-r le nombre de celles d'entre elles qui renferment précisément n — r lettres. Il est clair que les valeurs de h correspondantes à ces dernières seront multipliées, dans le premier membre de l'équation (i3), par des valeurs identiquement égales du produit

Par conséquent, à l'équation (i3) on pourra substituer la suivante

(i4) . lr{r-,)...{r-l + i)II„-r=M,

la somme qu'indique le signe S s'étendant désormais aux diverses valeurs de r.

Ajoutons que, ù étant, par hypothèse, une fonction transitive non seulement de /z — / -h i , mais encore de n — l -{- 2., . . . , et même de n variables, l'équation (i4) devra continuer de subsister quand on y remplacera /par un quelconque des nombres

Elle continuera même de subsister, en se confondant avec la for-

mule (4), quand on remplacera / par zéro, pourvu que l'on substitue

l'unité au coefficient

comme on est conduit à le faire quand on attribue à ce coefficient la forme fractionnaire

En développant le premier membre de la formule (i4)» ou de celles qu'on en déduit lorsqu'on remplace / par un des nombres o, i , 2, 3, . . . , / — I , et en observant que l'on a évidemment

on tirera de la formule (i4) les équations

M— i.2.^...lH„i-{-... -h{n — l-hi)...{n — i)n,

desquelles on déduira immédiatement les valeurs de exprimées en fonction de 3/ et de

La méthode d'élimination très simple qui sert à effectuer ce calcul et les conséquences remarquables qui se déduisent des formules (i5) seront exposées dans un prochain article.

Analyse mathématique. — Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières, et des systèmes de substitutions conjuguées (suite).