C. R., T. XXI, p. 1025 (lo novembre i

§ I. — Sur le dénombrement des substitutions diverses qui n'altèrent pas une fonction transitive de plusieurs variables indépendantes.

Soient

12 une fonction de n variables indépendantes x, y, z, . ..; M\q nombre des valeurs égales de £2; m le nombre de ses valeurs distinctes.

Soit encore

le système des substitutions conjuguées qui n'altèrent pas la valeur de (2, et H,, le nombre de celles qui déplacent r variables. La substitution I, qui forme le premier terme de la série (i), sera la seule qui ne déplace aucune variable, et toute substitution, distincte de l'unité, déplacera tout au moins deux variables à la fois. On aura donc

Si d'ailleurs 12 est une fonction transitive de n, de n — i, etc., et même de /i — 1-\- r variables; alors, comme on l'a vu dans le précédent article, les diverses valeurs de Hr, représentées par

vérifieront les formules

M — Hn^Ha-^^ /^„2 + ... + //,+ !,

(2) [M— i.2/^„2H-. . .+ (/i — 3)(/i — 2) A^2+ (rt — i)//,

M= ï.2.^. . .Iff^^i-h. . . -h {n— l + 1).. .{n — i)n.

Supposons maintenant que l'on désigne par e^ la somme des n + 1 premiers termes du développement de e~', et par \n\ la somme des r+ I premiers termes du développement de (i — \)'\ n, r étant des nombres entiers quelconques, en sorte qu'on ait

(3) e„=ri— • , , V /

et

On trouvera successivement