C. R., T. XX, p. 481 (24 février

Au moment où il s'agissait de proposer un sujet de prix pour les Sciences mathématiques, un de nos confrères remarquait avec raison que les travaux des géomètres sur la détermination des fonctions de très grands nombres laissaient encore beaucoup à désirer. J'ai, il est vrai, dans un précédent Mémoire, étendu la théorie de leurs approximations, en établissant des formules qui comprennent, comme cas particuliers, celles que Laplace avait données. Mais, dans le Mémoire de 1827, je me suis borné au calcul du premier terme de la série qui représente la fonction dont on cherche la valeur approchée. Ayant réfléchi de nouveau sur cet objet, j'ai été assez heureux pour obtenir une théorie générale qui fournit, avec les valeurs approchées des

fonctions, leurs développements en séries convergentes ou en séries syntagmatiques dont les sommes représentent les fonctions ellesmêmes. Cette théorie nouvelle est fondée sur la considération de la série qu'on obtient quand on développe une fonction d'une seule variable suivant les puissances entières de l'argument de cette variable. Les formules auxquelles je parviens renferment une transcendante unique, savoir l'intégrale de l'exponentielle négative qui a pour exposant le carré d'une variable. Mes formules peuvent être appliquées, avec un égal succès, et aux problèmes du calcul des chances et aux problèmes astronomiques. Elles fournissent un nouveau moyen de calculer aisément les mouvements des planètes, et, en particulier, les inégalités périodiques d'un ordre élevé.

Dans un prochain article, j'exposerai en détail les calculs et les résultats que je viens d'indiquer sommairement.

Analyse mathématique. — Note sur les modules principaux des fonctions.