II

Il en résulte qu'on pourra exprimer généralement

f^nf -"n-lJ -"«-2» •••> Un—l

en fonction de M et de

Il est bon d'observer que, dans le second membre de la formule (i i), tous les termes qui suivent le premier seront évidemment des nombres entiers. J'ajoute qu'on pourra en dire autant du premier terme représenté par le produit

ei-r-

En effet, ù étant, par hypothèse, une fonction transitive de n, de n — i, . . . , et même de n — l-\-i variables, si l'on nomme .TIL le nombre des valeurs égales de ù considéré comme fonction de n — /variables, on aura

M=n{n — i). ..(n — l-^i)DXU

et, par suite,

Or, en vertu de la formule (3), le produit

sera certainement un nombre entier, et il est clair que, pour obtenir le second membre de la formule (12), il suffira de multiplier ce produit : 1° par le facteur entier aiL; 2** par le rapport

qui est lui-même un nombre entier, puisqu'il représente le coefficient du produit

dans le développement de l'expression

(i-hs + tyK

Ainsi, comme on devait s'y attendre, la formule (11) fournira toujours une valeur entière de H;^;..

Observons encore que, dans le second membre do la formule (4), les divers termes, alternativement positifs et négatifs, offrent des valeurs numériques toujours croissantes lorsque r ne surpasse pas -• Il en résulte que, dans le cas où l'on a

la valeur de [n]^ est toujours positive pour des valeurs paires de r, et toujours négative pour des valeurs impaires de r.

Si, dans la formule (i i), on pose successivement r=:/, puis r~l — \, on obtiendra les deux suivantes :

Si, dans la formule (i4)» on pose /=i, on devra y remplacer par l'unité chacun des produits