i)= — ^ — , 3.4...(/ + i) = YTi

et l'on obtiendra l'équation

que l'on peut établir directement en combinant entre elles, par voie de soustraction, la première et la seconde des formules (2). D'ailleurs, comme on aura toujours, en vertu de la formule (i3),

et, en vertu de la formule (i 5),

(17) Hnln — i,

il en résulte qu'on peut énoncer les propositions suivantes :

Théorème I. — Si Ci est une fonction transitive de n, de Ji — i, . . . , et même de n — l-\-\ variables, alors, parmi les substitutions qui posséderont la propriété de ne point altérer la valeur de (2, celles qui déplaceront à la fois n — l -h i variables seront en nombre égal ou supérieur au produit

nin — i)...{n — l -^ i) . ,.

Théorème II. — Si £2 est une fonction transitive de n variables x, y, z, . . . , alors, parmi les substitutions qui n' altéreront pas la valeur de Q, celles qui déplaceront à la fois les n variables seront en nombre égal ou supérieur à n — \.

Ainsi, par exemple, si Ton prend /i = 4 et

Q.-=z xy -\- zu,

alors trois substitutions régulières dont chacune déplacera les quatre lettres x,y, z, u, savoir

se trouveront comprises parmi celles qui n'altéreront pas la valeur de la fonction transitive Q,.

Si, O étant une fonction transitive de n, de n — i , do n — 2, et même den — l-hi variables, il suffît de rendre /+ i variables immobiles, pour que toutes le deviennent; alors on aura nécessairement

et, par suite, la formule (r i) donnera simplement

^^ n(/t — i).. .(n ~ r-hi)

Hn-r

ei-r —

Si, dans cette dernière formule, on substitue successivement à r chacun des nombres

on obtiendra les suivantes

= Mei-[nl,

"n-/-hi —

CEuvres Je C. - S. I, t. IX..

dont les deux dernières se réduiront à

Hn-I

M n{n — 1). . An — l-^i)

Appliquons maintenant les formules qui précèdent à quelques exemples.

Si 12 est une fonction symétrique de n variables x,y, z, . . . , on aura simplement

la valeur de iV étant

Alors aussi, (2 étant fonction transitive de /i, de w — i, de /î — 2, . . . , et même de deux variables, on pourra prendre

et, en ayant égard aux deux formules

qui subsistent pour toutes les valeurs entières et positives de n, on tirera des équations (19)

fi - ^

Ainsi, le nombre total des substitutions qui, renfermant n variables œ.

y, s, . . . , déplacent à la fois toutes ces variables, est déterminé par la formule

H,.^Ne.

On pourrait aisément, de cette première formule, déduire toutes celles qui la suivent dans le Tableau (22). Ajoutons que, si l'on substitue dans la première des équations (2) les valeurs de Z/„, Zr„,, ..., H^y tirées des formules (22), on trouvera

Supposons encore que û représente une des fonctions qui, renfermant n variables, offrent seulement deux valeurs distinctes. Alors on aura

Alors aussi, Q> étant fonction transitive de /«, de /i — i, de w — 2, et même des trois variables, on pourra prendre

n — /-4-in:3, l =z n — 2;

et, en ayant égard à la formule

on tirera des équations (19) les suivantes

H„ := — Cr,

Hn.

(-ir

dont les deux dernières se réduisent à

D'ailleurs, le rapport

étant précisément le nombre total des substitutions circulaires du troisième ordre que l'on peut former avec n lettres, les formules (26) exprimeront une propriété bien connue des fonctions qui offrent seulement deux valeurs distinctes, savoir que l'une quelconque de ces fonctions est toujours altérée par une substitution circulaire du second ordre, et n'est jamais altérée par aucune substitution circulaire du troisième ordre.

§ II. — Théorèmes relatifs à deux systèmes de substitutions conjuguées.

Formons avec n variables x,y, z, ... deux systèmes de substitutions conjuguées

(2) I, <P, % cîl, ....

Soient .¥ l'ordre du premier système, et OlL l'ordre du second système. Si une ou plusieurs substitutions du second système sont semblables à une ou plusieurs substitutions du premier système; si, par exemple, on suppose la substitution s^semblable à la substitution R, alors ^sera lié à R par une ou plusieurs équations de la forme

(3) ^=rURU-',

et, réciproquement, lorsque deux substitutions appartenant, l'une au premier système, l'autre au second, se trouveront liées entre elles par une équation de cette forme, elles seront semblables Tune à l'autre.

Observons d'ailleurs que l'équation (3) peut encore être présentée sous chacune des formes

(4) R =rU-'^U,

(5) ^U=zUR.

Supposons maintenant que l'on nomme E le nombre des substitutions U pour lesquelles se vérifient des équations semblables à la formule (5), l'une de ces substitutions devant se réduire à l'unité dans le cas particulier où les systèmes (i) et (2) offrent des termes communs. Soit, au contraire, Fie nombre des substitutions U pour lesquelles ne se vérifient jamais des équations semblables à l'équation (5). E -{- F sera évidemment le nombre total des substitutions que l'on pourra former avec les n variables a?, 7, ^, . . . , en sorte qu'on aura

(6) E-^F=N, la valeur de A'' étant

Concevons maintenant que la suite

renferme plusieurs des substitutions U pour lesquelles se vérifient des équations de la forme (5), et construisons le Tableau

/ U, UP, UQ, UR,

, , V, VP, VQ, VR,

W, WP, WQ, WR,

Il est facile de s'assurer que chacune des substitutions comprises dans ce Tableau sera encore du nombre de celles pour lesquelles se vérifient des équations de la forme (5). Car, si l'on pose, par exemple,