R' = P-'RP

et comme, en vertu de la formule (i i), R' sera une substitution comprise dans la série (i), mais semblable à R, et par conséquent distincte de l'unité, l'équation (lo), à laquelle satisfera la substitution U', sera évidemment de la môme forme que l'équation (3) ou (5). D'ailleurs, deux termes compris dans deux lignes horizontales du Tableau (9) seront certainement distincts l'un de l'autre; et, si deux termes compris dans deux lignes horizontales différentes, par exemple les termes

UP, VQ,

compris dans la seconde et la troisième ligne horizontale, deviennent égaux, alors l'équation

(12) VQ = UP

entraînera la formule

(i3) V=zUPQ-',

en vertu de laquelle V sera déjà un des termes compris dans la seconde ligne horizontale. Donc tous les termes du Tableau (9) seront distincts les uns des autres, si en construisant ce Tableau on a soin de prendre pour premier terme de chaque nouvelle ligne horizontale une des substitutions non comprises dans les lignes déjà écrites, mais pour lesquelles se vérifient des équations de la forme (5). Or, ces conditions étant supposées remplies, concevons que l'on donne au Tableau (9) la plus grande étendue possible; alors il renfermera nécessairement toutes les substitutions pour lesquelles se vérifie la formule (5), et par conséquent E termes distincts, répartis entre des lignes horizontales qui renfermeront chacune M termes. Donc, si l'on nomme £>f le

nombre de ces lignes horizontales, on aura

Ajoutons que, si l'on pose, pour abréger,

N M on aura identiquement

(i5) N—mM,

et que, des formules (6), (i4). (i-'>)» on tirera immédiatement l'équation

en vertu de laquelle F sera encore un multiple de M. Au reste, pour établir directement cette conclusion, il suffît de concevoir que la série (8) se compose, non plus de substitutions pour chacune desquelles se vérifient toujours des équations de la forme (5), mais, au contraire, de substitutions pour lesquelles ne se vérifient jamais des équations de cette forme. En effet, cette supposition étant adoptée, un terme quelconque du Tableau (5), par exemple le terme

ne pourra vérifier une équation de la forme (5), par exemple l'équation (lo), R' étant l'une des substitutions P, Q, R, Car, en remettant pour U' sa valeur UP dans l'équation (lo), et posant

PR'P-»=rR,

on reviendrait de l'équation (lo) à la formule (4), que devrait vérifier, contrairement à l'hypothèse admise, la substitution U. D'ailleurs, pour que les termes du Tableau (9) soient encore tous distincts les uns des autres, il suffira, comme ci-dessus, qu'en prolongeant ce Tableau on prenne toujours pour premier terme de chaque nouvelle ligne horizontale un terme non compris dans les lignes horizontales déjà écrites. Cela posé, il est clair que, au moment où, en remplissant ces condi-

tions, on aura donné au Tableau (9) la plus grande étendue possible, ce Tableau renfermera F termes différents répartis entre diverses lignes horizontales dont le nombre sera jn — m:, et dont chacune sera composée de M termes. Donc le nombre F sera toujours un multiple de M, ainsi que l'indique la formule (16).

Par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent, on prouverait encore que chacun des nombres E, F est un multiple de dVu, et l'on obtiendrait ainsi, à la place des formules (i4)» (16), deux équations de la forme