E = S\IK

(18) F=OV.{m — K).

Concevons à présent que, le Tableau (9) étant composé de substitutions pour lesquelles ne se vérifient jamais des équations de la forme (5), on désigne par

plusieurs termes de ce Tableau, pris dans les lignes horizontales distinctes, et construisons encore le Tableau suivant :

1 t), ti^o, ^f), ,ao, .,.,

\\^>, ax\ ^\'), SK.'Ç, ...,

j ^, (£^, ^«), Si^, ..., v .., ..., ...» •••» ....

Un terme quelconque de ce nouveau Tableau, par exemple le terme

ne pourra vérifier une équation de la forme (5), ou, ce qui revient au même, de la forme (4). Car, si l'on avait, par exemple,

^ étant Tune des substitutions f , i^, Ji, . . . , on en conclurait la valeur de pétant

et, par suite, xd serait, contrairement à l'hypothèse admise, une substitution pour laquelle se vérifierait une équation de la forme (4) ou (5). Donc un terme quelconque du Tableau (20) sera l'un de ceux qui faisaient déjà partie du Tableau (8). 11 y a plus : deux termes compris dans une même ligne horizontale du Tableau (20) ne pourront faire partie d'une même ligne horizontale du Tableau (9); car, si l'on avait à la fois, par exemple.

on en conclurait

^t) = VR, ^XD = VS, 'Or^Çt^-iVR,

^ç^-iy =vsR-s

et, par suite, V serait, contrairement à l'hypothèse admise, une des substitutions pour lesquelles se vérifierait une équation de la forme (5). Enfin, si -deux termes compris dans deux lignes horizontales différentes du Tableau (20), par exemple les deux termes

^O et ^^,

compris dans la seconde et la troisième ligne horizontale, appartenaient à une même ligne horizontale du Tableau (9), de sorte qu'on eût

^£V = VR, î^t? = VS, on en conclurait

Mais alors, en nommant W le premier terme de la ligne horizontale du Tableau (9) qui renfermerait la substitution ^*(S-ç, on pourrait satisfaire à la formule

^-» ^t) — ^-» VR = WT

par une valeur de T prise dans la suite i , P, Q, R et, des deux formules

%-» VR =r WT, -ç == ^-1 VS,

on tirerait

^ = V^rR-»S;

OEiitres de C. — S.\,t.l\. 5l

en sorte que 'Ç et (S~* ^tD seraient deux termes pris dans la même suite horizontale du Tableau (9). Donc tous les termes du Tableau (20) appartiendront à des lignes horizontales distinctes du Tableau (9), si, en prolongeant le Tableau (20), on a soin de prendre pour premier terme de chaque nouvelle ligne horizontale une substitution comprise dans le Tableau (9), mais située hors des lignes de ce Tableau, qui ont fourni quelques-uns des termes déjà écrits dans le Tableau (20). Si, en remplissant cette condition, l'on donne au Tableau (20) la plus grande étendue possible, il renfermera définitivement autant de termes que le Tableau (9) renfermait de lignes horizontales, c'est-à-dire m — ^ termes répartis entre plusieurs lignes horizontales, dont chacune sera composée de 31L termes. Donc m — oi sera un multiple de 3K, en sorte qu'on aura

(21) m — DC = o (mod.^lT^).

On prouverait de la même manière que l'on aura encore

(22) m—K=o (mod.TJ/).

D'ailleurs, comme on tire des formules {iÇ>) et (18)

(23) F=M{m-^) = dV^{m — K) et, par suite,

, , , m — Km — Dt

il est clair que la formule (21) devait entraîner la formule (22).

La formule (21) est l'expression du théorème énoncé à la page 38o. Cette même formule, combinée avec l'équation (23), donne immédiatement

(25) F~o (mod.J/OlI) ou, ce qui revient au même,

(26) E = N {moà.MSK,).

En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Formons avec n variables x, y, z, ... deux systèmes de substitutions conjuguées, et soient

ces deux systèmes, le premier de l'ordre M, le second de l'ordre 3\L. Nommons E le nombre total des substitutions U, pour lesquelles se vérifient des équations de la forme

{i-j) ÇE-U^UP,

et posons, pour abréger, A' = r . 2 . 3 . . . n. Les nombres IV, E fourniront le même reste lorsqu'on les divisera par le produit MCfïb.

Corollaire. — Si les deux systèmes se réduisent à un seul, alors, au lieu du théorème I, on obtiendra la proposition suivante :

Théorème II. — Soit

un système de substitutions conjuguées de l'ordre M, et nommons E le nombre des substitutions U pour lesquelles se vérifient des équations de la forme