QU = UP

Q pouvant se confondre avec P. Le nombre E et le nombre N = i .2. . .n, divisés par le carré de M, fourniront le même reste, en sorte qu'on aura

(29) E^N {mod.M^).

Corollaire. — Si M^ surpasse A'', la formule (29) donnera nécessairement

et par suite une substitution quelconque U sera du nombre de celles pour lesquelles peut se vérifier la formule (28).

Supposons maintenant que les ^substitutions conjuguées

soient précisément celles qui n'altèrent pas la valeur d'une certaine fonction ù. Soit, d'ailleurs, U Tune des substitutions pour lesquelles peut se vérifier la formule (5), ou, ce qui revient au même, la formule (27). Si l'on nomme ù' ce que devient la fonction ù quand on lui applique la substitution U, il est clair qu'on obtiendra encore ù' en appliquant à £2, ou la substitution UP, ou son égale $U, et par conséquent en appliquant à ù' la substitution (S. Donc, alors, ù' sera l'une des fonctions que n'altère pas la substitution <$. Ajoutons que, dans la même hypothèse, les i/ substitutions qui n'altéreront pas la fonction il'

seront évidemment

U, UP, UQ, UR, ....

D'autre part, si U est l'une des substitutions qui transforment ù en 12', et si la valeur de la fonction ù' n'est pas altérée quand on lui applique l'une des substitutions f , ^, Si, . . . , par exemple la substitution <$, on pourra passer de 0 à O' à l'aide de chacune des substitutions

U, ^U, et revenir de 12' à (2 à l'aide de l'une des substitutions inverses

Donc on n'altérera pas la fonction (2 en lui appliquant la substitution

et cette dernière substitution devra être égale à l'une des substitutions P, Q, R, . . . , en sorte qu'on aura, par exemple,

et, par suite,