C. R., T. XXI, p. 1042 (10 novembre

Lorsque, dans une fonction de n variables, on permute les variables entre elles de toutes les manières possibles, on obtient diverses valeurs dont le nombre est précisément le produit i.i.'6...n. D'ailleurs, deux quelconques de ces valeurs de la fonction peuvent être, ou égales entre elles, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables ellesmêmes, ou généralement distinctes, de manière à ne pouvoir se confondre que pour certains systèmes de valeurs des variables dont il s'agit. Enfin le nombre des valeurs distinctes de la fonction est toujours, comme on le démontre aisément, un diviseur du nombre total des valeurs égales ou inégales, c'est-à-dire du produit i . 2 . 3 . . . /i. Mais il n'est pas toujours possible de former une fonction pour laquelle le nombre des valeurs distinctes soit un diviseur donné de ce produit, par exemple l'un des nombres entiers

A la vérité, on peut, avec un nombre quelconque de lettres, former, outre les fonctions syméùiques , qui n'ont qu'une valeur, des fonctions qui offrent seulement deux valeurs distinctes; et l'on peut encore, dans le cas singulier où l'on considère quatre lettres, former une fonction qui n'offre que trois valeurs distinctes. Mais, d'autre part, un géomètre italien, M. Rufïîni, a démontré qu'on ne peut, avec cinq variables, former une fonction qui offre moins de cinq valeurs, si elle en a plus de deux; et un autre Italien, M. Pietro Abbati, a étendu cette proposition au cas où la fonction renferme un nombre quelconque de variables. En outre, l'un de nous a démontré, il y a environ trente ans, que, pour une fonction de n variables, le nombre des valeurs distinctes, quand il est supérieur à 2, ne peut être inférieur au plus grand nombre premier contenu dans n. Enfin, dans le Mémoire qui renferme cette démonstration, on trouve le passage suivant :

// n'est pas toujours possible d'abaisser V indice, c'est-à-dire le nombre des f>aleurs d' une fonction jus qiî à la limite que nous venons d' assigner ; et, si l'on en excepte les fonctions du quatrième ordre qui peuvent obtenir trois valeurs, je ne connais pas de fonctions non symétriques dont l'indice soit inférieur à l'ordre (au nombre des lettres), sans être égal à 2. Le théorème ci-dessus établi prouve du moins qu'il n'en existe pas de semblables, quand l'ordre de la fonction est un nombre premier, puisque alors la limite trouvée se confond avec ce nombre. On peut encore démontrer cette assertion, lorsque n est égal à 6, en faisant voir qiî une fonction de 6 lettres ne peut obtenir plus de six valeurs, quand elle en a plus de deux.

La démonstration générale de la proposition que l'auteur du Mémoire avait énoncée dans ce passage, et qu'il avait rigoureusement établie dans le cas où n est un nombre premier ou bien encore le nombre 6, est aussi l'un des principaux objets des recherches dont nous avons à rendre compte. M. Bertrand est effectivement parvenu à la démontrer, en supposant qu'il existe toujours un nombre premier p compris entre

les limites /z — 2 et -, et en s'appuyantsurla considération des substi-

tutions circulaires formées avec^ -f- 2 lettres, partagées en deux groupes dont l'un renferme p lettres, et l'autre deux lettres seulement. Mais existe-t-il toujours, au moins quand n surpasse 7, un nombre premier compris entre n — 2 et -? Cela est extrêmement probable, et l'on peut, à l'aide des Tables des nombres premiers, s'assurer de l'existence d'un tel nombre, au moins tant que n est inférieur à 6 millions. Ainsi, les calculs de M. Bertrand suffisent pour étendre à tout nombre qui ne surpasse pas cette limite la proposition énoncée. Ils prouvent aussi que, pour une valeur de n inférieure à cette limite, une fonction de n lettres qui offre seulement Ji valeurs distinctes est généralement symétrique par rapport à /z — i lettres.

Parmi les nombres non premiers dont la valeur n'est pas considérable, il en existe deux seulement auquel la démonstration de M. Bertrand ne s'applique pas : ce sont les nombres 4 et 6. M. Bertrand mentionne le nombre 4» qui» comme nous l'avons déjà dit, fait exception à la règle générale. Il aurait dû, pour plus d'exactitude, mentionner aussi le nombre 6, et observer que ip cesse d'être supérieur à /î, quand on a /) = 3, « = G. D'ailleurs, comme nous l'avons rappelé ci-dessus, le principal théorème se trouve depuis longtemps démontré, pour le cas où l'on a /i = 6.

Le Mémoire de M. Bertrand renferme encore quelques autres propositions dignes de remarque sur le nombre des valeurs qu'une fonction peut acquérir. Il prouve, entre autres choses, que, p, q étant deux nombres premiers dont la somme est inférieure à n, une fonction de /i lettres aura précisément 2/î valeurs distinctes, si le nombre des valeurs distinctes est inférieur au produit py, et si d'ailleurs le nombre n des lettres est égal ou supérieur à 10.

En résumé, les Commissaires pensent que le Mémoire de M. Bertrand est digne d'être approuvé par l'Académie et inséré dans le Recueil des Mémoires des Savants étrangers.

Analyse mathématique. — Mémoire sur les premiers termes de la série des quantités qui sont propres à représenter le nombre des valeurs distinctes d' une fonction des n variables indépendantes.