I. — Considérations générales

Soient

Q> une fonction de n variables x,y, z, .. .;

m le nombre des valeurs distinctes de cette fonction ;

M le nombre de ses valeurs égales.

On aura

(i) mM — N,

et par suite le nombre m des valeurs distinctes de £2 sera toujours un diviseur du produit iV, c'est-à-dire du nombre des arrangements que l'on peut former avec n lettres. Donc, si l'on forme la série des nombres qui seront propres à représenter les diverses valeurs de m, tous les termes de cette série seront des diviseurs de N. Mais la proposition réciproque n'est pas vraie, et tous les diviseurs de iV n'entrent pas dans la série en question. Nous allons, dans cette Note, rechercher les premiers termes de la série, c'est-à-dire ceux qui expriment les plus petites valeurs de m.

D'abord, puisque, avec un nombre quelconque n des variables, on peut toujours composer des fonctions symétriques, c'est-à-dire des fonctions qui ne sont point altérées par des échanges quelconques opérés entre les variables, et même des fonctions dont chacune offre deux valeurs distinctes, il en résulte que, pour une valeur quelconque de 7^, les deux premiers termes de la série formée avec les diverses valeurs de m seront toujours les nombres i et 2.

Il est d'ailleurs facile de s'assurer : i^ que toute fonction qui n'est altérée par aucune substitution circulaire du second ordre est nécessairement symétrique; 2° que toute fonction non symétrique qui n'est altérée par aucune substitution circulaire du troisième ordre offre seulement deux valeurs distinctes.

Pour savoir quelles sont les valeurs que peut acquérir le nombre m quand il devient supérieur à 2, il convient de distinguer le cas où la fonction (2 est intransilive, et le cas où elle est transitée.

Quand la fonction 12 est intransitive, c'est-à-dire quand les substitutions

qui n'altèrent pas la valeur de O, ont pour effet unique d'écbanger, séparément entre elles, des variables que renferment divers groupes composés, le premier, de a variables

le second, de b variables

l, IX., V, ...;

le troisième, de c variables

on a évidemment

(3) rt=:a + ^ + c + ...,

chacun des nombres a,b,c, ... étant inférieur à n. Soient d'ailleurs, dans cette hypothèse, A le nombre de celles des substitutions (2) qui correspondent à des permutations diverses des variables a, é, y, . .. du premier groupe; B le nombre de celles des substitutions (2) qui, en laissant immobiles les variables a, ê, y, . . . du premier groupe, correspondent à des permutations diverses des variables X, [x, v, . . . du second groupe, etc. On trouvera