M=ABC

OF.uvres de C. — S. I, t. IX. Sa

et par suite, si l'on pose, pour abréger,

(5) Ji.=

Do ^ . ^- C

on aura

m :r= OtxJLlIliS. . .,

Jt, étant un entier qui sera évidemment supérieur à l'unité.

Il est bon d'observer que, dans la formule (3), on peut toujours supposer les nombres

rangés par ordre de grandeur, les plus grands d'entre eux étant représentés par les premières lettres de l'alphabet. Ajoutons que, en vertu de la formule (6), 3^ sera le coefficient du produit

dans le développement de l'expression

et que, par suite, x sera toujours un multiple de l'un des coefficients numériques renfermés dans le développement de

c'est-à-dire un multiple de l'un des nombres figurés compris dans la suite

n{n — I ) Ji{n — i ) ( « — 2 )

qui devra être arrêtée à l'instant où l'on aura écrit son plus grand terme. Le coefficient i se trouve exclu de cette suite, parce que, 12 étant une fonction intransitive, chacun des nombres a, b, c, ... doit être, comme on l'a déjà remarqué, inférieur à ji.

Quand la fonction 12 est transitive, c'est-à-dire lorsque, sans altérer

EXTRAIT N° 310. Ml

cette fonction, l'on peut faire passer à une place donnée une variable quelconque, le nombre m des valeurs distinctes de 12 considéré comme fonction des n variables données x,y, z, ... est en même temps le nombre des valeurs distinctes de Q, considéré comme fonction des n — I variables y, z,

§ II. — Détermination de quelques-unes des plus petites valeurs de m.

Il est maintenant facile de trouver quelques-unes des plus petites valeurs que le nombre m puisse acquérir, quand il devient supérieur à 2.

En effet, n étant le plus petit terme de la série (8) du § I, il suit immédiatement des formules (6), (7) du même paragraphe que, si 12 est une fonction intransitive, le nombre m de ses valeurs distinctes ne pourra être inférieur à n.

Il y a plus : 12 étant une fonction intransitive, on ne tirera de la formule (7) du § I

(0 in=i n

que dans le cas où l'on aura, non seulement

S(^=zn et, par suite,

« ~ « — 1 , 6 = 1, ifi> — I , mais encore

c'est-à-dire dans le cas où 12 sera fonction symétrique des n - 1 variables renfermées dans le premier groupe.

Enfin si, 12 étant une fonction intransitive, m devient supérieur à n, il devra être au moins égal au plus petit des nombres

De ces deux valeurs de m on obtiendra la première

en supposant, comme ci-dessus,

0^ = «, a-=zn — I, 6 = [, iPozzii, et, de plus,

c'est-à-dire en supposant que ^, considéré comme fonction de n— i variables, offre seulement deux valeurs distinctes. Au contraire, on trouvera

^^nin-T)

en supposant, non seulement

et, par suite,

mais encore

c*est-à-dire en supposant que 12 est une fonction symétrique des n — 2 variables comprises dans le premier groupe, et des deux variables comprises dans le second.

En résumant ce qu'on vient de dire, on obtient la proposition suivante :

Théorème I. — Çl étant une fonction intransitive de n variables indépendantes, si l'on désigne par m le nombre des valeurs distinctes de H, les plus petites valeurs que m pourra prendre seront le nombre n et le plus

petit des nombres

D'ailleurs, on obtiendra la valeur n ou 2,n du nombre m, en supposant que les variables se partagent en deux groupes dont l'un renferme une seule variable x, et que 12, considéré comme fonction des n — i variables restantes j, z, ..., est ou une fonction symétrique, ou une fonction qui offre seulement deux valeurs distinctes. On obtiendra, au contraire, la valeur ^ de m, en supposant que les variables

EXTRAIT No 310. 413

se partagent en deux groupes dont l'un renferme deux variables x,y, et que 12 est fonction symétrique des variables comprises dans chaque groupe.

Voyons maintenant ce qui arrivera si Q, est une fonction transitive

des variables

et cherchons d'abord, dans cette hypothèse, quelles valeurs pourra prendre le nombre m s'il est inférieur à n.

On rendra cette recherche plus facile, en commençant par établir la proposition suivante :

Théorème II. — Soient Q une fonction transitive de n variables indépendantes

et m le nombre des valeurs distinctes de ù. Si, dans cette fonction, l'on peut faire passer à trois places données trois variables quelconques arbitrairement choisies, m ne pourra s abaisser au-dessous de n, sans être l'un des nombres i, 2.

Démonstration. — Les substitutions circulaires du second ordre qui renferment la lettre x, savoir

sont en nombre égal à /z — i; et, si l'on applique séparément chacune d'elles k la fonction 0, on obtiendra n — i valeurs nouvelles de cette fonction. Soient

ces mêmes valeurs. Les n quantités

c'est-à-dire les n valeurs que pourra prendre la fonction ù, en vertu des substitutions

ne pourront être toutes distinctes les unes des autres, si l'on a m <] n.

Donc alors le premier terme de la suite (4) sera équivalent à l'un des suivants, ou deux de ces derniers seront égaux entre eux. Dans le premier cas, la fonction ù ne sera point altérée par une substitution circulaire du second ordre qui renfermera, outre la variable x, une autre variable j. Dans le second cas, la fonction ù acquerra deux nouvelles valeurs 12' égales entre elles, en vertu de deux substitutions circulaires du second ordre qui renfermeront, avec la variable x, deux nouvelles variables y, z. Mais l'inverse d'une substitution circulaire du second, ordre étant cette substitution même, si chacune des deux substitutions

transforme ù en 12', chacune d'elles transformera réciproquement 12' en 12; et, en conséquence, 12 ne sera point altéré par l'une quelconque des substitutions du troisième ordre

{j:, y) {a^,z) = {.T, z, y), (.r, z) (^, y) = {or, y,z).

Eniin, si, la valeur de 12 n'étant pas altérée par la substitution circulaire

(^, r) ou {ar,y,z),

on peut faire passer deux variables quelconques à la place de x et de y, ou même trois variables quelconques, arbitrairement choisies, aux places primitivement occupées par x, y et z, il s'ensuivra que la valeur de 12 ne pourra être altérée par aucune substitution circulaire semblable à {x,y), c'est-à-dire du second ordre, ou par aucune substitution circulaire semblable à {x,y, z), c'est-à-dire du troisième ordre. Mais alors 12 sera nécessairement, ou une fonction symétrique, ou une fonction qui offrira seulement deux valeurs distinctes.

Corollaire. — En vertu du théorème II, si 12, étant une fonction transitive de n variables, offre un nombre m de valeurs distinctes supérieur à 2, le nombre m ne pourra s'abaisser au-dessous de n, que dans l'un des deux cas ci-après énoncés, savoir :

1° Lorsque 12 sera fonction transitive des n variables x, y^ z, ... et fonction intransitive des n — i variables y, z, . . .;

EXTRAIT N" 310. ki6

1° Lorsque i2 sera fonction transitive, non seulement des w variables x,y, z, . .., mais encore des n — \ variables j, z, ... et fonction intransitive des n — 1 variables z,

Or, dans le premier cas, m étant le nombre des valeurs distinctes d'une fonction intransitive de /z — i variables ne pourra, d'après le théorème I, être inférieur à /i, à moins que l'on n'ait

et que Î2 ne devienne fonction symétrique de /z — 2 variables. Mais, d'après ce qu'on a vu dans un précédent Mémoire, page 809, (2, que l'on suppose être une fonction transitive et non symétrique de n variables x,y, z, . . ., ne pourra être en même temps une fonction symétrique de /^ — 2 variables 5, . . ., que si l'on a

Dans l'e second cas, m étant le nombre des valeurs distinctes d'une fonction intransitive de n — 1 variables, les plus petites valeurs que m pourra prendre seront, en vertu du théorème I, le nombre /i — 2 et le plus petit des nombres

D'ailleurs le nombre 2(71— 2) ne peut devenir supérieur à 2 sans devenir en même temps égal ou supérieur à n\ et, quant au nombre

ligure ^ --, il ne peut être a la lois supérieur a 2 et distinct

du nombre n — 1 sans être supérieur à /? — i . Donc, en vertu du théorème I, m ne pourra, dans le second des deux cas énoncés, s'abaisser au-dessous de n, à moins que l'on n'ait

et que Q ne devienne fonction symétrique de /^ — 3 variables. Mais alors û, étant tout à la fois fonction transitive de n, ou même de « — i variables, et fonction symétrique de n — 3 variables, devrait être né-

cessairement fonction symétrique de n — i, et, par suite, de n variables, quand on aurait

et même lorsqu'on supposerait

Car, dans ce cas particulier, on trouverait n — 3 = i, et les deux variables, dont ù serait fonction symétrique, pourraient être remplacées par doux variables quelconques sans que la valeur de ù fût altérée. Donc, en définitive, le seul cas où m pourra s'abaisser au-dessous de n, sans être l'un des nombres i, 2, sera le cas particulier où l'on aura

et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème III. — Soit O une fonction transitive de n variables indépendantes

et m le nombre des valeurs distinctes de Çl. Le nombre tu pourra se réduire, pour une valeur quelconque de n, à l'unité ou au nombre 2. Mais, si m devient supérieur à 2, il ne pourra être inférieur à n que dans le cas particulier où l'on aura

et où la fonction Ci sera tout à la fois transitive par rapport à quatre variables, intransitive par rapport à trois, et symétrique par rapport à deux.

Corollaire. — La proposition précédente est précisément celle qui, dans l'un de mes Mémoires de 18 12, se trouvait indiquée, pour une valeur quelconque de n, et rigoureusement démontrée pour le cas où n est ou un nombre premier quelconque, ou le nombre 6. La démonstration que M. Bertrand a donnée de la même proposition s'appuie sur un lemme dont l'exactitude a été vérifiée, à l'aide des Tables de nombres premiers, pour toute valeur de n inférieure à 6 millions.

Mais on voit par ce qui précède que, sans recourir à l'inspection des Tables de nombres premiers, on peut démontrer rigoureusement le théorème II, quel que soit d'ailleurs le nombre n des variables comprises dans la fonction 12.

Je ferai voir, dans un prochain article, que, si, le nombre n étant supérieur à lo, le nombre m est supérieur à tï — i, mais inférieur à la limite

on aura nécessairement, ou

m =r n ou m =r= 2«.

Analyse mathématique. — Mémoire sur la résolution des équations linéaires symboliques, et sur les conséquences remarquables que cette résolution entraîne après elle dans la théorie des permutations.