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Les équations symboliques auxquelles je me suis trouvé conduit par mes recherches sur le nombre des valeurs des fonctions offrent cette circonstance singulière que chacun des produits symboliques qui s'y trouvent renfermés varie, en général, quand on échange ses facteurs entre eux. Considérons en particulier l'équation symbolique qui exprime que deux substitutions données sont semblables l'une à l'autre. Ses deux membres seront les produits des substitutions données par une troisième substitution qui devra entrer dans un des deux produits comme multiplicande, et dans l'autre produit comme multiplicateur. L'équation dont il s'agit sera donc une équation symbolique, linéaire par rapport à cette troisième substitution. Mais, il importe d'en faire la remarque, cette équation symbolique, bien dif-

OEnures de C. - S. I, t. IX, 53

férente en cela de toutes les équations linéaires connues, aura généralement plusieurs solutions. Le nombre de ces solutions dépendra du nombre total des substitutions semblables aux proposées, qui pourront être formées avec les variables que l'on considère, et sera précisément le quotient qu'on obtient quand on divise par ce dernier nombre le nombre des arrangements qui peuvent être formés avec ces variables. La règle très simple que je donne pour obtenir l'une quelconque de ces solutions consiste à écrire l'une au-dessus de l'autre les deux substitutions données, en ayant soin de faire correspondre les uns aux autres les facteurs circulaires composés d'un même nombre de variables, puis à effacer les virgules et parenthèses placées entre les diverses variables. Alors ces deux substitutions se trouvent transformées en de simples arrangements qui sont précisément les deux termes de la substitution cherchée. Cette seule règle fournit toutes les solutions de Véquation symbolique linéaire. La multiplicité des solutions provient, non seulement de ce qu'on peut, dans chaque facteur circulaire, faire passer à la première place une quelconque des variables dont ce facteur se compose, mais aussi de ce qu'on peut échanger entre eux les facteurs circulaires de même ordre, et spécialement les facteurs circulaires du premier ordre, c'est-à-dire ceux qui correspondent à des lettres immobiles.

Au lieu de supposer connues les deux substitutions semblables entre elles que renferme une équation linéaire symbolique, on pourrait supposer connue l'une de ces substitutions, et demander la valeur de l'autre correspondante à une solution donnée de l'équation linéaire. Ce dernier problème se résout encore très simplement, mais d'une seule manière. Pour obtenir la valeur unique de la substitution cherchée, il suffît de faire subir aux variables que comprend la substitution proposée les déplacements indiqués par la solution donnée de l'équation linéaire, en opérant comme si ces variables n'étaient pas séparées par des virgules et des parenthèses, et comme si leur système représentait un simple arrangement.

Des principes que je viens d'énoncer, on déduit, comme consé-

quences, diverses propositions qui sont d'une grande utilité dans la recherche du nombre des valeurs qu'une fonction peut acquérir, et l'on arrive en particulier à découvrir les conditions qui doivent être remplies pour que deux substitutions soient permutables entre elles. Ces conditions peuvent être ramenées à deux. La première condition est que les deux substitutions données, réduites à leurs plus simples expressions, soient décomposables en substitutions circulaires ou, du moins, en substitutions régulières, dont les unes soient formées avec des variables que renferme une seule des substitutions données, et dont les autres, prises deux à deux, renferment précisément les mêmes variables. La seconde condition est que les substitutions régulières correspondantes, qui, étant composées des mêmes variables, entrent comme facteurs dans les deux substitutions données, soient de la forme de celles qu'on en obtient, dans le cas où, avec plusieurs systèmes de variables, on construit divers Tableaux qui renferment tous, non seulement un même nombre de lignes horizontales, mais encore un même nombre de lignes verticales, et où, après avoir écrit ces Tableaux à la suite les uns des autres dans un certain ordre, on multiplie entre eux, d'une part, les facteurs circulaires dont l'un quelconque offre la suite des variables qui, dans les divers Tableaux, appartiennent à une ligne horizontale de rang déterminé, d'autre part, les facteurs circulaires dont l'un quelconque offre la suite des variables qui, dans les divers Tableaux, appartiennent à une ligne verticale de rang déterminé. Il en résulte que, si une substitution est circulaire et renferme toutes les variables données, elle ne pourra être permutable qu'avec ses puissances, et par conséquent avec des substitutions régulières qui renfermeront encore toutes les variables.

Il en résulte aussi que, dans le cas où une fonction transitive de n variables n'est pas altérée par une substitution circulaire de l'ordre n, le nombre des substitutions de cet ordre qui jouissent de la même propriété ne peut être inférieur au nombre des valeurs égales de Î2 considéré comme fonction de /^ — i variables.

Il en résulte enfin que, dans le cas où Î2 est tout à la fois une

fonction transitive de n variables, et une fonction intransitive de ri — I variables, et où l'immobilité de deux variables entraîne l'immobilité de toutes les autres, on peut trouver immédiatement, à l'aide des règles précédemment énoncées, plusieurs des substitutions qui jouissent de la propriété de ne point altérer 12. Souvent même ces règles suffisent pour trouver toutes les substitutions de ce genre, et c'est ce qui arrive en particulier dans le cas où n est un nombre premier.

Je développerai, dans un prochain article, les corollaires importants des divers théorèmes que je viens d'indiquer.

§ I. — Des diverses formes que peut revêtir une même substitution.

Soit P l'une des substitutions que l'on peut former avec n variables

X, y, z, .. ., et posons

iV=i.2.3.../i.

Si l'on présente cette substitution sous la forme d'un rapport qui ait pour termes deux des arrangements composés avec les variables x, y, s, . . . , on pourra prendre pour dénominateur de ce rapport un quelconque de ces arrangements, et par suite, en laissant toutes les variables en évidence, on pourra présenter la substitution P sous N formes diverses. Ainsi, par exemple, si l'on prend n = 3, on aura A'= 6, et la substitution du second ordre, par laquelle on échangera entre elles les deux variables x,y, pourra être présentée sous l'une quelconque des six formes

/yœz\ /yzx\^ /œzy\ / œyz\ ( zyx\ ( zxy\ \jcyz) \œzyj \yzx J \yxzj' \zxyj' \zyx )

Le nombre des formes que peut revêtir une même substitution P se trouve notablement diminué lorsqu'on l'exprime à l'aide des facteurs circulaires dont elle est le produit, et que, pour représenter chaque facteur circulaire, on écrit entre deux parenthèses les variables qu'il renferme, en les séparant par des virgules, et plaçant à la suite l'une de l'autre deux variables dont la seconde doit être substituée à la pre-

miëre. Alors le nombre des variables comprises dans chaque facteur circulaire indique précisément l'ordre de ce facteur, et le plus petit nombre qui soit simultanément divisible par les ordres des divers facteurs représente l'ordre i de la substitution P. Alors aussi toute variable qui reste immobile quand on effectue la substitution P, doit être censée comprise dans un facteur circulaire du premier ordre, qui renferme cette seule variable, et, par suite, un tel facteur, représenté par l'une des notations

est équivalent à l'unité. Les facteurs circulaires du premier ordre disparaîtront toujours si la substitution donnée P est réduite à son expression la plus simple. Mais ils reparaîtront nécessairement si l'on veut mettre en évidence toutes les variables. Il importe de connaître le nombre des formes différentes que peut revêtir, dans cette hypothèse, la substitution P. On y parvient aisément de la manière suivante :

Supposons, pour fixer les idées, que la substitution P, étant de l'ordre i, renferme

/facteurs circulaires de l'ordre a; ^facteurs circulaires de l'ordre b\

etc., et enfin

r facteurs circulaires du premier ordre, en sorte que r exprime le nombre des variables qui restent immobiles quand on effectue la substitution P.

On aura nécessairement

Supposons encore que, après avoir exprimé la substitution P à l'aide de ses divers facteurs circulaires, représentés chacun par une série de lettres comprises entre deux parenthèses, et séparées par des virgules, on veuille déterminer le nombre co des formes semblables que

i22 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

l'on peut donner à la substitution sans déplacer les parenthèses, et, par conséquent, sans altérer les nombres de lettres comprises dans les facteurs circulaires qui occupent des rangs déterminés. Tout ce que l'on pourra faire, pour modifier la forme de la substitution P, ce sera, ou de faire passer successivement à la première place, dans chaque facteur circulaire, une quelconque des lettres comprises dans ce facteur, ou d'échanger entre eux les facteurs circulaires de même ordre. Par suite, pour obtenir le nombre co des formes, semblables entre elles, que peut revêtir la substitution P, il suffira de multiplier le produit

des ordres de tous les facteurs circulaires par le nombre

des arrangements divers que l'on peut former avec ces facteurs, lorsque, sans déplacer les parenthèses qui les renferment, on se borne à échanger entre eux de toutes les manières possibles les facteurs circulaires de même ordre. On aura donc

(2) (x> = {i .'2. .. f) {1.2. .. g-). . .{i .2. .. r)afb^

Ainsi, par exemple, si l'on prend n = 5, a = 3, /= i, r= 2, la formule (2) donnera

Effectivement, si l'on met en évidence les cinq variables ^, y, z, u, v, dans la substitution

composée avec trois de ces variables, on pourra la présenter sous la forme

et, sans déplacer les parenthèses, on pourra donner à cette même substitution six formes semblables, savoir :

(^,j, 5) («)(<')» iy,^,^)iu)ii'), iz,a;,y){u,v),

§ II. — Résolution de l'équation linéaire et symbolique par laquelle se trouvent liées l'une à l'autre deux substitutions semblables entre elles.

Deux substitutions formées avec n lettres

seront semblables entre elles, si elles offrent le même nombre de facteurs circulaires, et si les facteurs circulaires de l'une et de l'autre, comparés deux à deux, sont du même ordre. Cela posé, nommons P l'une quelconque des substitutions relatives à n variables

et soient

les diverses substitutions semblables à P que l'on peut former avec ces mêmes variables. Supposons d'ailleurs que l'on représente chacune de ces substitutions par le produit de ses divers facteurs circulaires, en mettant toutes les variables en évidence, et en assignant aux parenthèses des places déterminées. Enfin, concevons que l'on donne à chacune des substitutions P, P', P", ... toutes les formes qu'elle peut revêtir dans cette hypothèse. Si l'on nomme cj le nombre total des substitutions P, P', P", ..., et w le nombre des formes sous lesquelles se présentera chacune d'elles, le produit wny exprimera, non seulement le nombre total des formes que revêtiront la substitution P et les substitutions semblables à P, mais encore le nombre N des arrangements divers que l'on peut former avec n variables. Car on devra évidemment retrouver tous ces arrangements, en supprimant les virgules et les parenthèses dans les diverses formes obtenues. On aura donc

la valeur de iV étant