C. R., T. XX, p. 546 (3 mars i

Soit

— reP'f-^

une variable imaginaire, dont r désigne le module et p l'argument. Soit encore

une fonction de la variable x, qui reste continue avec sa dérivée du premier ordre, par rapport à r et à /?, pour des valeurs du module r très voisines d'un certain module x. Enfin soit M le module de la fonction

f(reP\/^).

Si, dans cette fonction, l'on fait varier seulement l'argument />, R acquerra des valeurs diverses, parmi lesquelles se trouveront des maxima et minima correspondants aux valeurs de p, qui vérifieront la condition

(t) BpB = o.

Soit Si. le plus grand des maxima ou le maximum maœimorum de R, considéré comme fonction de p. A sera une fonction de la seule variable r; et, pour la valeur x du module r, si acquerra une valeur déterminée. Supposons maintenant que, r venant à croître à partir de la valeur x, la fonction Si diminue; on aura

D'ailleurs Si est ce que devient R quand on y suppose p réduit à une

fonction de r, déterminée par la formule (i); et, comme on aura, dans

cette supposition,

D,<a = D,R + DpRD;./?,

par conséquent, eu égard à la formule (i),

(3) D,.Jl = D,R,

il est clair qu'à la condition (2) on pourra substituer la suivante :

Concevons à présent que, le module r croissant toujours, la fonction R ne cesse pas d'être finie et continue. Le maximum maximorum de R relatif à l'argument /?, c'est-à-dire la fonction de r désignée par a, ne pourra cesser de décroître, pour croître ensuite, qu'après avoir atteint une valeur minimum. Cette valeur minimum sera ce que j'appellerai un module principal de la fonction f(^). D'ailleurs, ce module principal étant tout à la fois un maximum de R, considéré comme fonction de/? et un minimum de ^, répondra généralement à des valeurs de r et /? qui vérifieront les conditions

(5) DpR = o, D,cylr=o,

(6) D^R<o, D^Jl>o.

Ajoutons que de la formule (3), jointe à l'équation (i), on tirera

et que, en vertu de cette dernière équation, jointe à la formule (3), on pourra réduire les conditions (5), (6) aux suivantes :

(7) J)pR = o, î),.R = o,

(8) D^/î<o, D^iî-^^^^^>o.

Il y a plus : si l'on nomme

5 et 5

les logarithmes népériens des modules

r et i?,

en sorte qu'on ait

il est clair que s croîtra indéfiniment avec r, et S avec R. Il en résulte qu'en considérant i?, non plus comme une fonction de r et p, mais comme une fonction de s et/?, on pourra substituer aux formules (i) et (4) les conditions

(ïo) DpS = o, D,5<o,

et aux formules (7), (8) les suivantes : (") BpS = o, I)sS=zo,

(la) J)pS<o, D|5-^^^5^