PU = UP

ou, ce qui revient au même, la suivante

p=ziupu-s

il suffit d'observer que, si l'on pose

A = œzvsyuwt, on trouvera

UA =:zyuwtvsxz.

Donc, par suite, en vertu de l'une des règles établies dans le précédent article, on aura

UPU-'r= (y, U, W, t){ç, s, X, z)=.V.

Corollaire IL — Si les divers Tableaux formés avec les / variables que renferment deux facteurs complexes et correspondants s, G des substitutions P, U se réduisent à un seul Tableau, alors S, s seront deux substitutions régulières du genre de celles dont nous nous sommes déjà occupés dans un précédent article (séance du i3 octobre), et dont les propriétés deviennent évidentes quand on représente les variables qu'elles renferment à l'aide de deux espèces d'indices appliqués à une seule lettre. C'est ce qui arrivera, par exemple,

si l'on a

^ — {x,z,v){y,ii,w).

Alors les deux substitutions s, s seront les produits des divers facteurs circulaires formés, d'une part, avec les variables que renferment les diverses lignes horizontales du Tableau

d'autre part, avec les variables comprises dans les diverses lignes horizontales; et ces deux substitutions seront certainement permu-

tables entre elles, car elles se réduiront au cube et au carré de la substitution du sixième ordre

Il est bon d'observer que, en vertu des équations (i6), jointes aux formules (2), (8), (9) et (10), on aura généralement

(20) SJ=:&,

et que, si l'on pose en conséquence

0 sera une substitution régulière de l'ordre

i I ij

D'ailleurs, dans les formules (20), (21), l'exposant i de s représentera le nombre des facteurs circulaires de s, et réciproquement l'exposant j de s représentera le nombre des facteurs circulaires de s. Cela posé, on pourra énoncer encore la proposition suivante ;

Théorèjie II. — Lorsque deux substitutions P, U sont permutables entre elles, les facteurs circulaires qui renferment les lettres communes aux deux substitutions , supposées réduites à leurs expressions les plus simples, fournissent deux produits décomposables en substitutions régulières qui, comparées deux à deux, se correspondent de telle sorte que deux substitutions régulières S e/ s, propres à représenter deux facteurs complexes et correspondants des substitutions données P e^ U, vérifient toujours la formule

i étant le nombre des facteurs circulaires de S, et j le nombre des facteurs circulaires de S. Ajoutons que, si l'on désigne par l le nombre des variables comprises dans chacune des substitutions régulières S, ©, la substitution

sera une autre substitution régulière de l'ordre — •

Corollaire I. ~ Si les facteurs complexes s et s composent à eux seuls les substitutions P et U, on aura

(23) P-S, U = S, et la formule (20) donnera

(24) VJ—\i,

/désignant le nombre des facteurs circulaires de P, ety le nombre des facteurs circulaires de U. Si, pour fixer les idées, on pose, comme dans le corollaire I du théorème I,

on aura

et par suite l'équation (24) donnera

Effectivement, en formant, dans cette hypothèse, le carré de chacune des substitutions P, U, on trouvera

Corollaire IL - Si, parmi les facteurs circulaires de P, se trouve une seule substitution circulaire de l'ordre a, formée avec des variables que renferme aussi U, réduit à son expression la plus simple, cette substitution circulaire devra évidemment représenter une des valeurs de s. En la prenant effectivement pour 6, on aura

et la formule (20) donnera

s — SJ.

Donc alors le facteur s de U, correspondant au facteur 6 de P, sera une puissance de la substitution circulaire de s. Cette conclusion s'accorde avec les remarques faites au commencement de cet article, puisque, dans le cas où s représente, non seulement un des facteurs

Œuvres de C. — S. I, t. IX. 5g

circulaires P, mais encore le seul de ces facteurs qui soit de l'ordre a, s ne peut être déplacé quand on passe d'une forme de P à une autre, de manière à ne jamais altérer les nombres de lettres comprises dans les facteurs qui occupent des places déterminées.

Analyse mathématique. — Note sur la réduction des fonctions transitives aux fonctions intransitives, et sur quelques propriétés remarquables des substitutions qui n altèrent pas la valeur d' une fonction transitive.