C. R., T. XXI, p. 1199 {i" décembre i

Comme je l'ai remarqué dans une précédente séance, le nombre des valeurs distinctes d'une fonction transitive de plusieurs variables est aussi le nombre des valeurs distinctes qu'admet cette fonction dans le cas où l'une des variables devient immobile. Il peut d'ailleurs arriver qu'une fonction transitive de plusieurs variables ne cesse pas d'être transitive dans le cas où une, deux, trois, quatre, . . . variables deviennent immobiles; et alors le nombre des valeurs distinctes de la fonction donnée se confond avec le nombre des valeurs distinctes d'une autre fonction qui renferme une, deux, trois, quatre, ... variables de moins. J'ajoute que cette autre fonction peut toujours être supposée intransitive. Car, si l'on fait croître de plus en plus le nombre des variables devenues immobiles, ce nombre ne s'élèvera jamais au delà d'une certaine limite, égale ou supérieure à celle qu'il peut atteindre quand la fonction donnée est symétrique, savoir, au nombre total des variables diminué de l'unité.

Mais ce qu'il importe surtout de remarquer, c'est que la fonction intransitive à laquelle on réduira une fonction transitive donnée, en supposant une ou plusieurs variables immobiles, ne saurait être une

fonction intransitive quelconque. Tout au contraire, le nombre des formes que peut acquérir cette fonction intransitive est notablement restreint par un théorème que je suis parvenu à établir. Je prouve que toute fonction transitive de n variables, qui devient intransitive quand on suppose une variable immobile, est nécessairement ou une fonction transitive complexe de toutes les variables, ou une fonction pour laquelle le nombre des valeurs égales se trouve réduit, par l'immobilité d'une variable, au nombre des valeurs égales d'une autre fonction de / lettres, / étant inférieur à /^ — i et diviseur de /z — i. Ajoutons que de ces deux hypothèses une seule évidemment pourra être admise, si n ou /i — i est un nombre premier. Ainsi, par exemple, en vertu du théorème que je viens d'énoncer, le nombre des valeurs égales de toute fonction transitive de cinq variables qui sera intransitive par rapport à quatre devra se réduire au produit du facteur 5 par le nombre des valeurs égales d'une fonction de deux variables. Donc, toute fonction transitive de cinq variables qui sera intransitive par rapport à quatre offrira cinq ou dix valeurs égales, et, par suite, vingt-quatre ou douze valeurs distinctes. Au contraire, toute fonction de six variables, qui sera intransitive par rapport à cinq ne pourra être qu'une fonction transitive complexe.

Le théorème énoncé, joint à ceux que nous avons déjà établis dans les séances précédentes, sert encore à limiter le nombre des valeurs égales ou distinctes que peut acquérir une fonction transitive qui ne cesse pas de l'être, quand une ou plusieurs variables deviennent immobiles. On reconnaît ainsi, par exemple, que toute fonction de cinq lettres qui est transitive par rapport à cinq et à quatre variables offre nécessairement six valeurs distinctes, quand elle en a plus de deux, et qu'on peut en dire autant de toute fonction de six lettres qui est transitive par rapport à six, à cinq et à quatre variables.

Ajoutons que très souvent, à l'aide des formules auxquelles je suis parvenu, on peut déterminer le nombre et même la nature particulière des substitutions des divers ordres qui n'altèrent pas une fonction transitive de n variables, en supposant connu le nombre des

variables dont Timmobilité réduit cette fonction transitive à une fonction intransitive et le nombre des valeurs distinctes que la fonction peut acquérir.

En finissant, j'observerai que M. Hermite m'a dit avoir depuis longtemps reconnu la fonction transitive de six variables dont j'ai parlé, savoir, de celle qui offre seulement six valeurs distinctes. Toutefois, la méthode par laquelle il était parvenu à constater l'existence de cette fonction est différente de celle que j'ai suivie moi-même, et qui, en raison de son utilité dans la solution de plusieurs problèmes, paraît assez digne d'intérêt pour que je croie devoir l'exposer dans un autre article.

Analyse mathématique. ~ Note sur les substitutions qui n'altèrent pas la valeur d'une fonction, et sur la forme régulière que prennent toujours celles d'entre elles qui renferment un moindre nombre de variables.