C. R., T. XXI, p. 1234 (8 décembre i

Considérons n variables indépendantes x, y, z, . . . , et nommons P une substitution formée avec plusieurs de ces variables, en nombre égal à /. Si la substitution P n'est pas régulière, elle sera du moins le produit de plusieurs substitutions régulières

Désignons par

les ordres de ces substitutions régulières, et supposons que

U soit le produit de/facteurs circulaires de l'ordre a; V le produit de g facteurs circulaires de l'ordre b; W le produit de h facteurs circulaires de l'ordre c;

Les nombres a, b, c, ... seront tous inégaux entre eux, et l'on aura, non seulement

(i) P=UVW...,

mais encore

( 2 ) fa + gb-\- hc^. . .— l.

Ajoutons que, si l'on nomme i l'ordre de la substitution P, i sera le plus petit nombre entier, divisible par chacun des nombres a,

hy c

Observons maintenant que les nombres

étant tous inégaux, ne pourront tous offrir les mêmes facteurs premiers, élevés aux mêmes puissances. Donc, parmi les facteurs premiers de i, on pourra trouver un nombre premier/?, qui sera tel que

les termes de la suite

ou ne seront pas tous divisibles par/?, ou, du moins, ne seront pas tous divisibles par la même puissance de/?. Alors

sera évidemment une substitution régulière de l'ordre/?; et cette sub-

stitution P^', réduite à son expression la plus simple, cessera de renfermer les variables comprises dans quelques-unes des substitutions

régulières

savoir, dans celles de ces substitutions dont les ordres n'étaient pas multiples de la plus haute puissance de/? qui divise i. D'ailleurs, chacune des substitutions U, V, W, ... déplacera deux variables au moins, si l'ordre i de la substitution P est un nombre pair, et trois variables au moins si l'ordre i est un nombre impair. Donc le nombre

des variables que déplacera la substitution P'' sera égal ou inférieur

à / — 2, si la substitution P est d'ordre pair, et à / — 3 si la substitution P est d'ordre impair. Ajoutons qu'on pourra encore supposer ce nombre égal ou inférieur à /— 3, si, l'ordre i étant pair, l'un des entiers

a par exemple, est impair. Car, dans ce cas, on pourra prendre/? — 2, et alors

sera une substitution régulière du second ordre qui déplacera au plus /— 3 variables, puisqu'elle cessera de comprendre les a variables renfermées dans la substitution U. Enfin, il suit de la formule (2) que l'un des entiers

sera certainement impair, si /, ou le nombre des variables comprises dans P, est un nombre impair. Par conséquent, on pourra énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Soit P une substitution de V ordre i, qui déplace l variables, et supposons cette substitution irrégulière. Alors, parmi les puissances de P, distinctes de l'unité, on trouvera une ou plusieurs substitutions régulières, dont chacune déplacera l — 2 variables au plus, si l et i sont des nombres pairs , et l — 3 variables au plus, si l ou i est impair.

Soit maintenant ù une fonction des n variables indépendantes^,

j, ^, . . . , et nommons

I, P, Q, Pi, ...

les substitutions, conjuguées entre elles, qui n'altèrent pas la valeur de cette fonction. Soit encore rie nombre des variables qui deviennent immobiles quand on effectue celles des substitutions P, Q, R, ... qui déplacent le plus petit nombre de variables possible. Chacune des substitutions P, Q, R, . . . déplacera au moins n — r variables. Supposons d'ailleurs que, parmi ces substitutions, l'une P soit irréguliëre; nommons i son ordre et / le nombre des variables qu'elle déplace.

Parmi les puissances de P distinctes de l'unité, on trouvera toujours (théorème 1) une substitution régulière qui déplacera /— 2 variables au plus, et celle-ci sera encore un terme de la suite (3). On aura donc

Il y a plus : en vertu du théorème I, on aura nécessairement

lyH — /' H- 3,

si / est un nombre impair. On ne pourrait donc avoir précisément

lz=: n — r + 2

que dans le cas où, / étant un nombre pair, r=l~ 3 serait un nombre impair. .En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Soient ù une fonction de n variables indépendantes x, y, z, . .., et r le nombre des variables qui deviennent immobiles quand on effectue les substitutions qui, en laissant intacte la valeur de O, déplacent le plus petit nombre de variables possible. Toute substitution qui, sans altérer Çl, déplacera n — roun — r + i variables, sera certainement une substitution régulière. Il y a plus : on pourra en dire autant de toute substitution qui, sans altérer ù, déplacera n — r -]- 1 variables, si r est un nombre pair.

Corollaire I. — Si la fonction 12 est altérée par toute substitution circulaire du second ordre, on aura

Donc alors, en vertu du théorème II, toute substitution P qui n'altérera pas la valeur de Q, sera nécessairement régulière, non seulement quand elle déplacera trois ou quatre variables seulement, mais aussi quand elle déplacera cinq variables.

kkS COMPTES RENDUS DE L'ACADEMIE:

Corollaire IL — Si la fonction ù est altérée par toute substitution régulière du second ou du troisième ordre, on aura

Donc alors, en vertu du théorème II, toute substitution P qui n'altérera pas la valeur de Q sera nécessairement régulière quand elle déplacera quatre ou cinq variables seulement. Elle pourrait devenir irrégulière, si elle déplaçait six variables; par exemple si l'on avait

Effectivement si, en adoptant la valeur précédente de P, on réduit aux dérivées de P les substitutions conjuguées qui n'altèrent pas la valeur de O, ces substitutions seront, avec i et P, les puissances de P supérieures à la première, et distinctes de l'unité, savoir

et par conséquent le système des substitutions conjuguées qui n'altéreront pas la valeur de 1} renfermera seulement, avec l'unité, deux substitutions irrégulières du sixième ordre et une substitution régulière du second ordre.

Corollaire m. — Si la fonction ù est altérée par toute substitution

circulaire du second, du troisième ou du quatrième ordre, et par toute

substitution régulière du second ordre formée avec quatre variables,

on aura

Donc alors, en vertu du théorème II, toute substitution P qui n'altérera pas la valeur de ù sera nécessairement régulière, quand elle déplacera cinq, six ou sept variables.

Analyse MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur diverses propriétés des systèmes de

substitutions, et particulièrement de ceux qui sont permutables entre

eux.