C. R., T. XXI, p. 1238 (8 décembre i
Je me propose dans ce Mémoire de faire connaître plusieurs propriétés remarquables des systèmes de substitutions; je montrerai plus tard le parti qu'on peut tirer de cette connaissance dans la recherche du nombre des valeurs distinctes d'une fonction de plusieurs variables.
§ I. — Sur quelques théorèmes fondamentaux .
Je commencerai par établir la proposition suivante :
Théorème I. — Soit
un système de substitutions conjuguées, formées avec n variables x, y, z, .... Soient d'ailleurs $ une autre substitution arbitrairement choisie,
et
d'autres substitutions, déduites de $ par la résolution des équations linéaires
dans lesquelles
représentent des substitutions égales, ou inégales, dont chacune se réduit à un terme de la série (i). Alors les substitutions
I, ^, % Si,
jointes à leurs dérivées, formeront un système de substitutions conju-
OEwres deC. — S. I, t. IX. 67
guées, qui sera permutable avec le système des substitutions conjuguées
Démonstration. — Soient T l'une quelconque des substitutions (i),
et 5 l'une quelconque des substitutions (3) ou de leurs dérivées. Pour
établir le théorème énoncé, il suffira de faire voir que tout produit de
la forme
ST
est en même temps de la forme
ÏS,
les valeurs particulières de © et de T pouvant varier lorsqu'on passe de la première forme à la seconde. Or, évidemment, en vertu des formules (2), chacun des produits
sera de la forme
.^P, <^SQ, fR,
S désignant un terme de la suite (i), et s un terme de la suite (3). De plus, on pourra en dire autant de chacun des produits renfermés dans
le Tableau
^P, ^Q, ^R, ..., <aP, .RQ, <ÎR.R, ...,
En effet, considérons, pour fixer les idées, le produit
On pourra aisément le réduire à la forme Ss; car la première des
équations (2) donnera
et, par conséquent,
^P^U-iûET^.
Mais, P^* étant un terme de la suite (i), ^P^ sera un terme de la suite (4),
et par conséquent une des équations (2) sera de la forme
W étant lui-même un terme de la suite (1). On aura donc
et l'on en conclura
