P = SS

en posant, pour abréger,

Or, comme la valeur précédente de S sera encore un terme de la suite (i), la formule (6) exprimera simplement que le produit ^P est de la forme Ss, S désignant un terme de la suite (i), et s un terme de la suite (3).

De ce qu'on vient de dire, il résulte évidemment que, si T représente un terme quelconque de la suite (i), et G un terme quelconque de la suite (3), on pourra toujours satisfaire à la condition

(7) GT = SS,

en prenant pour S un autre terme de la suite (i), et pour s un autre terme de la suite (3). J'ajoute qu'il en sera encore de même si l'on donne à la suite (3) une extension nouvelle, en y faisant entrer, avec

les substitutions

^, % Si, ...,

toutes celles de leurs dérivées qui pourraient n*y être pas renfermées, c'est-à-dire les diverses puissances des substitutions ^i", ^, ^, • • . , et, plus généralement, les produits de ces mêmes substitutions multipliées l'une par l'autre deux à deux, trois à trois, . . . , de toutes les manières possibles. Effectivement, T étant un terme quelconque de la suite (i), soient

divers termes égaux ou inégaux de la suite (3). La formule (7) four-

nira successivement plusieurs équations de la forme

(8) 6T = SS, e'S = S'S', S"S'=S"S",

s, S', S", . . . désignant des termes de la suite (i), et s, s', s", . . . des termes de la suite (2). Or, des formules (8) on déduira successivement les équations

(9) .e'ST = S'S'8, &'&ÏST = ^"è"S'§,

et celles-ci seront encore semblables à la formule (7), avec cette seule différence que les substitutions

s et S s'y trouveront remplacées par les produits

S'S et S'S ou 5"5'S et §"§'§, ...,

c'est-à-dire par des substitutions dérivées de ÇP, ^, ^, D'ailleurs,

celles de ces substitutions qui se trouveront représentées par les produits

pourront être évidemment des dérivées quelconques des substitutions $, ^, .^, . . . .

Le premier théorème étant ainsi démontré, on peut en déduire immédiatement un grand nombre de propositions nouvelles que je vais successivement indiquer.

D'abord, si les substitutions P, Q, R, ... se réduisent aux diverses puissances d'une même substitution P, alors à la place du théorème I on obtiendra la proposition suivante :

Théorème II. — Soient P une substitution formée avec plusieurs variables X, y, z, . . . , et i l'ordre de cette substitution, dont les diverses puissances composeront, en conséquence, le système des substitutions conjuguées