I, P, PS ..., P

Soient encore

des nombres entiers quelconques égaux ou inégaux, et ^, % a, ..., t), \'), xg)

de nouvelles substitutions, déterminées par le système des équations linéaires

(il) Cep=:pa^^ ÇeP'=P*Jl, ..., œP'-2— ?/-<?, œP^-» = P="'T^.

Si, aux substitutions

ûp, ^, ê\ ..., 13, -c?, xj?),

on joint les dérivées de ces mêmes substitutions, on obtiendra un système de substitutions conjuguées qui sera permutable avec le système des puissances de P.

Si l'on prend pour a un nombre premier à i, la substitution P"* sera semblable à la substitution P, et par suite on pourra choisir $ de manière à vérifier la formule

(12) C^Pr=P«ÇE'.

Alors aussi la première des formules (ii) se réduira simplement à l'équation (12). D'ailleurs, si, dans chacun des membres de cette dernière équation, on introduit plusieurs fois de suite le facteur P comme multiplicande, on en tirera successivement

cep2— pa çep = p2«^,

Cfp3 p2aC^p p3aCE>^

Donc le système des équations (11) pourra être remplacé par le système des formules

(l3) (ePz^P'^^, ^P2=P2«Çe, ..., ÇeP('-») = P('-l)«$,

toutes comprises dans la formule générale

(i4) ^pA=p«/'cp,

et le théorème II entraînera la proposition suivante :

Théorème III. — Si, P étant une substitution de l'ordre i, et a un

nombre premier à ?, on nomme $ l'une quelconque des solutions de

l'équation linéaire

le système des substitutions conjuguées qui représenteront les diverses puissances de ($ sera permutable avec le système des substitutions cojijuguées qui représenteront les diverses puissances de P.

Corollaire I. — Il est bon d'observer que, après avoir déduit de l'équation (12) la formule (i4)> on pourra, de cette dernière formule, déduire successivement les suivantes

^2 pA — (^-pah (^ -— pa'A Çî ^3 p/i __ Çg>pa'A (^i -— pa'A Og>3

toutes comprises dans la formule générale

(l5) ($k^h—^ahi($k^

Corollaire IL — D'après ce qu'on a vu dans un précédent Mémoire, pour obtenir une solution quelconque $ de l'équation (12), il suffît de représenter chacune des substitutions semblables P, P'^, à l'aide de ses facteurs circulaires, en ayant soin de faire occuper les mêmes places, dans les deux substitutions, par des facteurs circulaires de même ordre. Alors ^ pourra être représenté par la notation symbolique

pourvu que, en supprimant, dans P et dans P'', les virgules et les parenthèses, on considère P et P'* comme représentant de simples arrangements. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème IV. — Soient P ujie substitution de l'ordre ?, et a un nombre premier à i. Supposons, d'ailleurs, que, après avoir représenté les substitutions VetV^à l'aide de leurs facteurs circulaires, en ayant soin de faire occuper les mêmes places, dans ces deux substitutions, par des facteurs circulaires de même ordre, on supprime les virgules et parenthèses

placées entre les variables, afin de réduire VetV^à de simples arrangements. Alors les puissances de la substitution

formeront un système de substitutions conjuguées qui sera permutable avec le système des puissances de la substitution P.

Exemple. — Si l'on prend et a = 2, alors, en laissant a; à la première place, on trouvera

et, en réduisant P, P- à de simples arrangements, on tirera de la formule (i6)

\xyzuvj v^' ' ' ^

Donc le système des puissances de la substitution circulaire du quatrième ordre

sera permutable avec le système des puissances de la substitution circulaire du cinquième ordre

Si, en adoptant la valeur de P déterminée par la formule

^ = {oc,y,z,u,v),

on attribuait successivement au nombre a les valeurs

alors, en laissant toujours ^ à la première place dans chacune des

substitutions