PS PS PS

i56 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on obtiendrait successivement pour (S les trois substitutions

(j, z, V, u), {y, u, V, z), (y, v) {z, u), c'est-à-dire celles des puissances de la substitution

qui sont distinctes de l'unité.

Généralement, si l'on représente par P une substitution circulaire dont l'ordre i soit un nombre premier, on pourra, en appliquant la formule (5) à la détermination de ^, laisser toujours à la première place une même variable x, et alors, en posant successivement

ût = 2, az=:3, ..., a^=-i — i,

on obtiendra «valeurs différentes de (?.

Lorsque i cessera d'être un nombre premier, on ne pourra plus, dans la formule (i6), prendre pour a l'un quelconque des nombres entiers inférieurs à i. Mais on pourra toujours y supposer

puisque i — \ sera toujours premier à i. Alors l'équation (i6) don-

nera

OU plus simplement

(i8) çer=^^

Exemple. — Si l'on prend « = 6 et alors, en laissant a? à la première place, on aura

et, en réduisant P, P~' à de simples arrangements, on tirera de la

formule (i8)

( xwvuzy\

\xyzuvwj ^"^ I \ ■> I

EXTRAIT N° 315. hol

Donc le système des puissances de la substitution du second ordre

sera permutable avec le système des puissances de la substitution circulaire du sixième ordre

Rien n'empêche de supposer, dans la formule (i6),

Dans cette supposition, la formule (i6) donnera

('9) ^^=vp

P' désignant une seconde forme de P, que l'on déduira de la première, en ayant soin de faire toujours occuper les mêmes places par des facteurs circulaires de même ordre. Alors aussi t? se réduira simplement à une puissance de P, si P se réduit à une substitution circulaire. Mais il n'en sera plus généralement de même si P est le produit de plusieurs facteurs circulaires du premier ordre, ou même d'ordres différents. Alors f pourra être une substitution distincte de toutes les puissances de P, ainsi qu'on le voit dans les exemples suivants.

Exemple I. — Soit Alors, en posant

on tirera de la formule (7)

si l'on prend, au contraire,

on tirera de la formule (19)

OF.uvies de C. — S. I, t. IX. 58

enfin, si l'on prend

la formule (19) donnera

\xyza) j I-'

et, dans ces divers cas, le système des puissances de $ sera permutable avec le système des puissances de P.

Exemple IL — Soit et prenons

La formule (19) donnera

\xyzuvwj \ '^' ' ''

et alors le système des puissances de ® sera permutable avec le système des puissances de P, qui seront toutes distinctes de ^.

§ IL — Conséquences des principes établis dans le premier paragraphe et dans les précédents Mémoires.

Dans le Mémoire que j'ai publié, il y a trente ans environ ('), Sur Je nombre des valeurs qiî une fonction peut acquérir, quand on y permute de toutes les manières possibles les quantités quelle renferme, j'avais représenté ces quantités par des lettres affectées d'indices, et les indices par des nombres. Alors les substitutions, en vertu desquelles les diverses quantités étaient échangées les unes contre les autres, se trouvaient exprimées à l'aide de ces nombres, par conséquent à l'aide des indices eux-mêmes, comme je l'ai fait encore dans une des précédentes séances {voir les formules (3) de la page 346). C'est aussi en remplaçant par des nombres les diverses variables desquelles une fonction dépend, que M. Hermite m'a dit être parvenu, non seulement à constater l'existence de la fonction transitive de six variables qui

(1) OEuvres de Cauchj, S. II, T. I,

offre six valeurs distinctes, mais encore à d'autres résultats spécialement relatifs aux nombres premiers 5, 7, ii, et applicables à la théorie des trois équations modulaires dont les degrés sont ces nombres premiers augmentés de l'unité. Quoique, dans l'entretien que nous avons eu ensemble le 19 novembre dernier, M. Hermite ne m'ait pas dit en quoi consiste précisément sa méthode, j'avouerai sans difficulté que cet entretien a excité en moi un vif désir d'approfondir de plus en plus les questions relatives à la théorie des permutations, et m'a engagé à rechercher avec plus de soin toutes les conséquences qui peuvent se déduire des principes que j'avais déjà établis dans les Comptes rendus. Mes recherches m'ont d'abord conduit aux résultats énoncés dans les deux dernières séances et dans le § I du présent Mémoire. Je vais maintenant en indiquer plusieurs autres qui peuvent être aisément tirés des formules auxquelles nous sommes déjà parvenus.

Soit •

une substitution circulaire de l'ordre i, formée avec i variables x, y,

z, Soit de plus a un nombre premier à i. Enfin, supposons qu'on

laisse la variable a? à la première place dans la substitution P'', semblable à P, et que, en réduisant les substitutions P, P*" à de simples arrangements, on prenne

Alors ^ sera une substitution qui déplacera seulement les variables

ou quelques-unes d'entre elles, et les puissances de ^ formeront un système permutable avec le système des puissances de P. Il y a plus : la substitution ^, comme on l'a vu dans le § I, vérifiera généralement la formule

(3) t£>A:p/j palAÛ^/t^

quels que soient les nombres entiers h et k. Or il suit de cette dernière formule que, des deux équations

la première entraînera toujours la seconde, et réciproquement. On doit en conclure que l'ordre de la substitution $, c'est-à-dire la plus petite valeur de k propre à vérifier la formule

est aussi la plus petite valeur de k qui vérifie l'équivalence

(5) rt*= I (mod.i)-

De cette simple remarque on déduit immédiatement les théorèmes YI et VII des pages 333 et '334, auxquels on parvient encore en remplaçant les variables œ, r, z, ... par des lettres affectées d'indices, et présentant en conséquence la substitution P, comme nous l'avons fait à la page 333, sous la forme

Il suit aussi de la remarque précédente, que les racines primitives

du nombre entier ? seront précisément les valeurs de a qui fourniront

pour valeur de

une substitution de l'ordre i—i, si i est un nombre premier, et, dans le cas contraire, une substitution circulaire d'un ordre équivalant à y indicateur maximum I.

Dans le cas particulier où l'on prend a=^i—i, la formule (6), réduite à l'équation

fournit pour valeur de $ une substitution circulaire du second ordre.

Revenons maintenant aux formules (ii) du § I, et, en supposant

que P désigne une substitution circulaire de l'ordre /, déterminée

EXTRAIT N" 315. UQi

par la formule (t), prenons encore pour (P une substitution qui déplace seulement quelques-unes des variables renfermées dans P, de manière à laisser immobile, à la première place, la variable oc. On tirera des formules (i i) du § I

/ ^ p-a(gp^

i .'il =P-^tpp2, (8) > '

! Tg) — P-g-'l'P'-'.

D'ailleurs, on pourra donner au nombre a une valeur telle, que la substitution ^, déterminée par la première des équations (8), laisse immobile la variable x. Effectivement, nommons s la variable qui succède à ;r en vertu de la substitution ^P. On remplira évidemment la condition énoncée en prenant pour P"* celle des puissances de P qui substituera sâœ, puisque alors la substitution inverse P"'' aura pour effet de substituer x h s, et, par conséquent, de ramener ^ à la place que cette variable occupait primitivement. Ajoutons qu'une remarque semblable est applicable encore à chacun des nombres b, . .. , f, g, compris dans les valeurs de ^, . . . , 'Ç, -^ déterminées par la seconde, . . . , l'avant-dernière, la dernière des équations (8). On peut donc énoncer généralement la proposition suivante :

Théorème I. — Soit P une substitution circulaire de l'ordre i, formée

avec i variables

' Xy y, z, ....

Nommons <$ une autre substitution qui renferme seulement quelques-unes de ces variables, de manière à laisser immobile une ou plusieurs d'entre elles, par exemple la variable x. Enfin, nommons ^, ^, . . . , \'>, \^ les substitutions qui, en déplaçant les seules variables y, z, . . . , vérifient des équations de la forme (8). Le système des substitutions *r, :^, Jl, . . . e/ de leurs dérivées sera permutable avec le système des puissances de la substitution circulaire P.

Dans l'hypothèse admise, les substitutions

^, ^, Jl, ..., XO, 'Ç,

jointes à leurs dérivées, composeront un système de substitutions conjuguées dont chacune laissera immobile la variable x. Soit on l'ordre de ce système. Parmi les substitutions qu'il renfermera, aucune ne pourra se réduire à une puissance de P distincte de l'unité, puisqu'une telle puissance déplacera toujours chacune des

variables ce, y, z, Donc le système dont il s'agit et le système

des i puissances de P n'auront pas de termes communs autres que l'unité. Donc, en vertu des principes établis dans la séance du 20 octobre, un troisième système, qui renfermerait toutes les dérivées des substitutions comprises dans les deux premiers, sera de l'ordre DVii. D'ailleurs, eu égard aux formules (8), ce troisième système se réduira au système des deux substitutions

et de leurs dérivées des divers ordres. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, SI l'on nomme OlL l'ordre du système qui renfermera les substitutions ^% ^, Si, . . ., \'>, xg> et toutes leurs dérivées, SïLÎ sera l'ordre du système de substitutions conjuguées qui renfermera les dérivées diverses des deux substitutions Vet^.

Il est important d'observer que, dans la série des substitutions