SI

déduites successivement de la substitution ^ à l'aide des équations (8), plusieurs termes peuvent être égaux entre eux. On peut même affirmer que, dans cette série, prolongée à partir d'un terme qui serait égal à ^, les termes ^, ^, . . . se reproduiront dans le même ordre à la suite les uns des autres. En effet, supposons que l'un des termes de la

série (8) se réduise à $, et qu'en conséquence, l'une des équations (8) soit de la forme

(lO) ' ^nzP-'^P/,

j étant positif, mais inférieur à « — i . On aura, par suite,

(II) œp^^p'çp,

et de cette dernière formule, combinée avec les équations

(12) $P = P«^, ÇE>p2 p6>f^^

on tirera successivement

fP^+i^p/opp — p/+«^,

(13) / ÛE'P>+2— p/Cpp2 p/+Ar,^^

OU, ce qui revient au même,

(l4) ^p/-açppy + l^ A — V-'-''(SVJ+^,

Il y a plus : de la formule (ii), jointe aux équations (12), on tirera non seulement

(i5) ^P^^-^zPA'tg»^

mais encore

(16) CgipAy+l - p/i/+a ^ ^ ç^p/jy+2 __ -phl+bcji

OU, ce qui revient au même,

(17) ^ — p-/t/-agjp/iy-hi^ iR. — P-/'/-''-'Çp/'y+2

De ces remarques on peut déduire plusieurs conséquences importantes; et d'abord, puisque, en vertu des formules (17), les mêmes termes ^, <îi, ... se reproduiront toujours périodiquement dans les formules (8) et dans la série (9), à partir d'un terme qui serait égal à ^i-, il en résulte que, si Ton attribue à j la plus petite des valeurs positives pour lesquelles se vérifie la formule (10), cette plus petite

valeur divisera toutes les autres, et par conséquent le nombre i, qui représente l'ordre de la substitution P. De plus, il résulte de l'équation (i5) que, des deux formules

la première entraînera toujours la seconde, et réciproquement. Donc, par suite, j devra être un diviseur, non seulement de «, mais aussi de /, de sorte qu'on aura

6 étant un nombre entier, et même un nombre premier à i. Donc aussi l'équation (i5) pourra être présentée sous la forme

(20) <~]^Y*''J—V^hiq^

0 étant premier à i.

On peut affirmer que, dans le cas où des termes de la série

deviennent égaux entre eux, le terme 'J? reparaît toujours le premier, entraînant k sa suite les termes ^, <R, . . ., périodiquement reproduits dans le même ordre. En effet, supposons, pour fixer les idées, que la suite (21) offre deux termes égaux à ^. Alors l'une des équations (12) sera de la forme

(22) ft^P^'rrrP''^,

y" étant supérieur à l'unité, mais inférieur à i—\. Or, de l'équation (22), combinée avec la première des formules (8), on tirera

(23) (ep^'-i=p'-«^i\

y — I étant positif, mais inférieur à «"— i; et, en vertu de la formule (23), des deux termes ^i;\ ^, le premier aura dû reparaître avant le second dans la série (21).

On peut remarquer encore que de la première des équations (12),

combinée avec celles qui la suivent, on tire d'autres équations de la forme

(24) ^P = p6-«cft, ^pî^P'^-^s,

et que ces dernières sont semblables aux équations (12), avec cette seule différence que les nombres

y sont remplacés par d'autres nombres

Donc, tout ce qui a été dit de la substitution ^ pourra se dire pareillement de la substitution ^, et généralement de tous les termes de la série (21).

Enfin, de la forme (20) on tirera immédiatement la suivante

Or il résulte de cette dernière que, des deux équations

(26) ^^=1, pnj^p%^hj^

la première entraîne toujours la seconde, et réciproquement, quel que soit d'ailleurs le nombre entier /i. Donc, l'ordre de la substitution ^' sera la plus petite des valeurs de k propres à vérifier l'équivalence

(27) {e^—i)j = o (mod.O,

que l'on peut aussi mettre sous la forme

(28) e^=i (mocl.iV

Dans un prochain Mémoire, je montrerai les conséquences remarquables qui peuvent se déduire des diverses propositions et formules que je viens d'établir.

ORuvres de C. — S. I, t IX. Sq

Analyse mathématique. — Note sur les fonctions caractéristiques

des substitutions.