C. R., T. XXI, p. 1287 (i5 décembre

§ I. — Propriétés diverses des substitutions qui, étant semblables à une substitution donnée, n'altèrent pas la valeur d'une fonction de plusieurs variables.

Soient

Qi une fonction de n variables indépendantes x, y, z, ... ;

M\q nombre de ses valeurs égales;

m le nombre de ses valeurs distinctes 12, 01 , ù",

On aura

(i) mM—IS,

la valeur de A^ étant

Soient d'ailleurs

le système des substitutions conjuguées qui n'altèrent pas la valeur de (2, et représentons par

celles de ces substitutions qui sont semblables à une substitution donnée P. Enfin soient

h le nombre des substitutions P, P', P", . , . ;

k le nombre de celles des fonctions £2, ii', O", . . . qui ne sont pas altérées par la substitution P ;

CT le nombre total des substitutions semblables à P, qui peuvent être formées avec les n variables x, y, z, ... ;

CD le nombre de formes que peut revêtir la substitution P, exprimée à l'aide de ses facteurs circulaires, quand on s'astreint à faire occuper toujours les mêmes places, dans cette substitution, par des facteurs circulaires de même ordre.

D'après ce qu'on a vu dans les précédents Mémoires, on aura, non seulement

(4) co5j = yv,

mais encore

(5) hm = kvs.

D'ailleurs, on tirera des équations (i) et (4)

in (o

Donc, par suite, l'équation (5) donnera

(7) h(ù — kM.

Or, cette dernière formule renferme évidemment le théorème dont voici l'énoncé :

Théorème I. — Soient O, une fonction de n variables indépendantes x, Y, z, . . . , et M le nombre de ces valeurs égales. Soient encore P l'une des substitutions qui n'altèrent pas 12, etVy P', P", ... les substitutions, semblables à P, qui jouissent de la même propriété. Le nombre M sera un diviseur du nombre total des formes que peuvent revêtir les substitutions P, P' , P", . . . exprimées à l'aide de leurs facteurs circulaires, quand on s'astreint à faire occuper toujours les mêmes places, dans ces diverses substitutions, par des facteurs circulaires de même ordre.

Corollaire. — Supposons, pour fixer les idées, que P représente une substitution circulaire de l'ordre n. Alors on aura précisément

Alors aussi Q deviendra une fonction transitive des n variables x, y, z, . . . , et l'on aura, par suite,

(9) M—nd\L,

3\i> étant le nombre des valeurs égales de ù considéré comme fonction

des n — i variables y, z, Cela posé, en divisant par n les deux

membres de la formule (7), on trouvera

(10) h — kdV^,

et le théorème I sera réduit à la proposition suivante :

Théorème II. — Soit ù une fonction transitive de n variables oc, y, z, . . . , et supposons que cette fonction ne soit pas altérée par une ou plusieurs substitutions circulaires de l'ordre n. Le nombre h de ces substitutions circulaires aura pour diviseur le nombre des valeurs égales de Q. considéré comme fonction des n — i variables y, z, . . . .

Corollaire. — Si les seules substitutions circulaires de l'ordre n, qui jouissent de la propriété de ne pas altérer (2, se réduisent à des puissances d'une même substitution P, h sera précisément le nombre des

entiers premiers à n. Donc alors le nombre des entiers premiers à n aura pour diviseur le nombre des valeurs égales de Ci considéré comme fonction de /î — i variables.

Exemple L — Concevons que (2 représente une fonction transitive de cinq variables x, j, s, u, v. Le nombre de ses valeurs égales étant un multiple de 5, on trouvera nécessairement des substitutions du cinquième ordre parmi celles qui n'altéreront pas la valeur de O. Gela posé, il résulte du théorème II que, dans le cas où ces substitutions du cinquième ordre se réduisent aux puissances