P', PS PS P

d'une même substitution P, le nombre ono de valeurs égales de Ci considéré comme fonction des quatre variables j, z, w, v doit être un diviseur de 4- Donc alors 3TL ne peut être que l'un des nombres i, 2, 4.

Exemple IL — Concevons que ù représente une fonction transitive de six variables x, y, z, u, v, w, et supposons que, parmi les substitutions qui n'altèrent pas la valeur de cette fonction, on trouve des substitutions circulaires du sixième ordre, représentées par des puissances d'une même substitution circulaire P. Ces puissances ne pourront être que P et PS et par suite le nombre 2, c'est-à-dire le nombre des entiers premiers à 6, aura pour diviseur le nombre 3TL des valeurs égales de i2 considéré comme fonction des cinq variables j, z, u, v, w. Donc alors otl ne pourra être que i ou 2.

Concevons maintenant que, O étant une fonction quelconque des n variables a?, j, s, . . . , on nomme

les substitutions qui, étant semblables entre elles et à une certaine substitution P, déplacent toutes les variables sans altérer la valeur de O. Soit, d'ailleurs,

le système des substitutions conjuguées qui n'altèrent pas i2 consi-

déré comme fonction des n — i variables j, z, Si l'on nomme 8

l'un quelconque des termes de la série (ii), le produit

représentera certainement une substitution qui, étant semblable à P, n'altérera pas li considéré comme fonction des n variables x, y, s, Donc ce produit devra se réduire k l'une des substitutions

P, P', P', ...; en sorte qu'on aura

(12) SPS-» — Q,

Q désignant encore un terme de la série (3), mais un terme tel que la variable x appartienne à des facteurs circulaires du même ordre dans les deux substitutions P et Q. Donc on pourra déterminer s à l'aide d'une équation symbolique de la forme

en suivant la règle établie par le théorème dont voici l'énoncé :

Théorème JII. — Soit £1 une fonction de n variables x, y, z, Soient

encore P l'une des substitutions qui déplacent toutes ces variables, sans altérer la valeur de ù, et

les diverses substitutions qui, étant toutes semblables à V et douées de la même propriété, présentent toutes la variable x dans des facteurs circulaires de même ordre. Soit enfin

le système des substitutions conjuguées qui, en laissant la variable x immobde, n'altèrent pas la valeur de ù, considéré comme fonction des n — I variables y, z, .... L'une quelconque S des substitutions

ie, ^, <a, ...

Dourra se déduire de la substitution P comparée à un certain terme de la suite (i3), et sera donnée en conséquence par une équation de la forme

vourvu que, après avoir exprimé les deux substitutions P, Q « l'aide de leurs facteurs circulaires, et assigné les mêmes places, dans les deux substitutions, non seulement aux facteurs circulaires de même ordre, mais encore à la variable x, on réduise V et Ç^ à de simples arrangements par la suppression des parenthèses et des virgules interposées entre les diverses variables. Ajoutons que V on pourra prendre pour Q, ou un terme de la série (i3), distinct de P, ou même une seconde forme de la substitution P, distincte de la première.

Corollaire 1. — Les formules (12) et (i4) établissent des relations remarquables entre les substitutions

qui, sans altérer une fonction O de w variables x, y, z, . . ., déplacent

seulement quelques-unes de ces variables, en laissant x immobile, et

Jes substitutions

qui, étant semblables entre elles, et renfermant toutes la variable x dans des facteurs circulaires de même ordre, déplacent, sans altérer P, toutes les variables. Ces deux espèces de substitutions se trouvent tellement liées les unes aux autres que, étant données les substitutions ^, ^, ^, . . . , avec l'une des substitutions

on peut déterminer le système de ces dernières, ou du moins plusieurs d'entre elles, à l'aide de la formule (12). Lorsqu'au contraire on donne les substitutions

les valeurs de s, déterminées par la formule (i4)» sont les divers

termes d'une suite dans laquelle se trouvent nécessairement comprises les substitutions ^, !^, Ji,

Corollaire IL — Lorsque P représente une substitution circulaire de l'ordre n, exprimée à l'aide des variables écrites l'une après l'autre et séparées par des virgules, il est impossible de donner à P une seconde forme semblable à la première et distincte de la première, sans déplacera. Donc alors on ne peut supposer Q = P dans l'équation (12) ou (i4), sans réduire S à l'unité. Il y a plus : lorsque P représentera une substitution circulaire de l'ordre n, les formes des substitutions

seront complètement déterminées si, dans chacune d'elles, on assigne à la variable x une place déterminée, la première place par exemple. Donc alors la formule (i4) fournira pour chaque valeur de Q une seule valeur de s ; mais, Q venant à varier, s variera nécessairement. En conséquence,'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème IV. — Soit ù une fonction de n variables indépendantes x,

y, z, Supposons d' ailleurs que certaines substitutions circulaires de

l'ordre n n'altèrent pas la valeur de ù, et soient

les substitutions circulaires de l'ordre n qui jouissent de cette propriété. Si, après avoir représenté chacune d'elles à l'aide des diverses variables séparées par des virgules, en assignant toujours la première place à la variable x, on réduit P, Q, R, . . . à de simples arrangements, les divers termes de la suite

('^) >py-M ^py' -^p

seront tous distincts les uns des autres, et cette même suite renfermera toutes les substitutions

qui, sans altérer i2, déplaceront seulement les n — i variables y, z, .... ou quelques-unes d'entre elles, en laissant immobile la variable x.

OFMvres de C. — S. I, t. IX. 6o

kn COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Supposons à présent que, P, ^S étant toujours deux substitutions qui n'altèrent pas la valeur de 12, la lettre P représente, ou une substitution circulaire de l'ordre n, ou même l'une quelconque des substitutions qui déplacent la variable x. Supposons, au contraire, que a\ étant une substitution circulaire de l'ordre /^ — i, déplace seulement les n — I variables j, s, ... ; et, en désignant par / un nombre entier quelconque, posons

(i6) P/=za^/p^-'.

En vertu de la formule (i6), P^ reprendra toujours la même valeur quand on fera croître ou décroître / d'un multiple de n — i, en sorte qu'on aura, par exemple,