P/ =P, =:P^, =...= <SP

De plus, les divers termes de la suite

(17) Po=P, Pi, P2, .••,P.-2

seront certainement distincts les uns des autres. En effet, nommons 5la variable dont x prend la place quand on effectue la substitution P. Cette variable s se trouvera remplacée, dans les divers termes de la série (17), par les diverses variables qui succèdent à s quand on effectue les substitutions

Mais, û^ étant, par hypothèse, une substitution circulaire de l'ordre /i — I, les variables qui succéderont à ^ en vertu des substitutions (18) se confondront respectivement avec les w — i variables que renferme la substitution $, c'est-à-dire avec les variables y, z, ... écrites à la suite l'une de l'autre, dans l'ordre qu'indique la substitution ^, quand on assigne la première place à la variable s. Donc les

deux variables dont x viendra prendre la place dans deux des substitutions

Po> ï i> P?»

po-

seront toujours deux variables distinctes; et il est clair qu'on pourrait en dire autant de deux variables qui succéderaient à x dans deux de ces mêmes substitutions. Donc la série (17) n'offrira pas de termes égaux. Gela posé, désignons, comme ci-dessus, par

I, œ, % Si,

fp,

ap,

Pi,

^Pl,

^Pl,

ap„

le système des substitutions conjuguées qui, en laissant immobile la variable x, déplacent seulement les variables j, z, ... ou quelquesunes d'entre elles, sans altérer la valeur de ù. Les divers termes compris dans le Tableau

seront nécessairement distincts les uns des autres. Car, si l'on suppose égaux entre eux deux termes de ce Tableau représentés par les

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